6.6: 母平均のスチューデントの$t$-分布

例 6.18 [Student $t$-分布]. 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ (in $L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$) を考える. したがって, 状態空間$\Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+$, 測定値空間$X={\mathbb R}^n$とする. パラメータ空間$\Theta$を $\Theta={\mathbb R}$として, 半距離 $d_\Theta^x (\forall x \in X)$ を次のように定める. \begin{align} d_\Theta^x (\theta_1, \theta_2) = \frac{|\theta_1-\theta_2|}{{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} \quad \qquad (\forall x \in X={\mathbb R}^n, \forall \theta_1, \theta_2 \in \Theta={\mathbb R} ) \tag{6.76} \end{align} ここに,${\overline{\sigma}'(x)}=\sqrt{\frac{n}{n-1}}\overline{\sigma}(x)$である. また, システム量$\pi:\Omega(={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \to \Theta(={\mathbb R})$ を次のように定める. \begin{align} \Omega(={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \ni \omega = (\mu, \sigma ) \mapsto \pi (\mu, \sigma ) = \mu \in \Theta(={\mathbb R}) \tag{6.77} \end{align} 推定量 $E:X(={\mathbb R}^n) \to \Theta(={\mathbb R})$ を次のように定める. \begin{align} E(x)=E(x_1, x_2, \ldots , x_n ) = \overline{\mu}(x) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \tag{6.78} \end{align} 帰無仮説$H_N$ $(\subseteq \Theta= {\mathbb R} ) )$ を次のように定める： \begin{align} H_N= \{\mu_0\} \tag{6.79} \end{align} 任意の $ \omega=(\mu_0, \sigma ) ({}\in \Omega= {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ )$に対して, 次を得る. \begin{align} & [G^n(\{ x \in X \;:\; d^x_\Theta ( E(x) , \pi( \omega ) ) \ge \eta \} )](\omega ) \nonumber \\ =& [G^n(\{ x \in X \;:\; \frac{ |\overline{\mu}(x)- \mu_0 |}{ {{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} } \ge \eta \} )](\omega ) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n} \underset{ \eta \le \frac{ |\overline{\mu}(x)- \mu_0 |}{ {{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} } }{\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu_0} {})^2 } {2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }{}}})^n} \underset{ \eta \le \frac{ |\overline{\mu}(x) |}{ {{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} } } {\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} {} {})^2 } {2 } {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \nonumber \\
= & 1- \int_{-\eta}^{\eta } p^t_{n-1}(x) dx \tag{6.80} \end{align} ここに, $p^t_{n-1}$ は自由度$(n-1)$の$t$-分布の確率密度関数である. 方程式 \begin{align*} 1-\alpha = \int_{-\eta^\alpha_{\omega}}^{\eta^\alpha_{\omega} } p^t_{n-1}(x) dx \end{align*} を解いて, $\eta^\alpha_{\omega}$ $=t(\alpha/2)$ を得る.

6.6.2: 信頼区間

$L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$ 内の 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ の測定値を $x ( \in {\mathbb R}^n )$とする. $({}\gamma{})$-信頼区間 $D_x^{\gamma, \Theta}$ は次のようになる. \begin{align} D_x^{\gamma, \Theta} & = \{ \pi({\omega}) (\in \Theta) : \omega \in \Omega, \;\; d^x_\Theta ({}E(x), \pi(\omega ) ) \le \eta^\gamma_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{ \mu \in \Theta(={\mathbb R}) \;:\; \overline{\mu}(x) - \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t((1- \gamma)/2) \le \mu \le \overline{\mu}(x) + \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t((1- \gamma)/2) \} \\ & \tag{6.81} \end{align} または, \begin{align} D_x^{\gamma, \Omega} & = \{ {\omega} =(\mu, \sigma ) (\in \Omega) : \omega \in \Omega, \;\; d^x_\Theta ({}E(x), \pi(\omega ) ) \le \eta^\gamma_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{ {\omega} =(\mu, \sigma ) (\in \Omega) \;:\; \overline{\mu}(x) - \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t((1- \gamma)/2) \le \mu \le \overline{\mu}(x) + \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t((1- \gamma)/2) \} \\ & \tag{6.82} \end{align}

帰無仮説$H_N(=\{\mu_0\})$を考える. このとき,棄却域${\widehat R}_{H_N}^{\alpha}$( 帰無仮説 $H_N(=\{\mu_0\})$の $({}\alpha{})$-棄却域 ) は以下のようになる.

または,

6.6.4: 仮説検定[帰無仮説 $H_N=(- \infty , \mu_0]( \subseteq \Theta = {\mathbb R}$)]

帰無仮説$H_N$を \begin{align*} H_N = (- \infty , \mu_0], \end{align*} とする. したがって,半距離を次のように定める. \begin{align} d_\Theta^x (\theta_1, \theta_2) = \begin{cases} \frac{|\theta_1-\theta_2|}{{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} \quad & ( \forall \theta_1, \theta_2 \in \Theta={\mathbb R} \mbox{ such that } \mu_0 \le \theta_1, \theta_2 ) \\ \frac{\max \{ \theta_1, \theta_2 \}-\mu_0}{{\overline{\sigma}'(x)}/\sqrt{n}} \quad & ( \forall \theta_1, \theta_2 \in \Theta={\mathbb R} \mbox{ such that } \min \{ \theta_1, \theta_2 \} \le \mu_0 \le \max \{ \theta_1, \theta_2 \} ) \\ 0 & ( \forall \theta_1, \theta_2 \in \Theta={\mathbb R} \mbox{ such that } \theta_1, \theta_2 \le \mu_0 ) \end{cases} \\ & \tag{6.85} \end{align} とする. このとき,$({}\alpha{})$-棄却域${\widehat R}_{H_N}^{\alpha, \Theta}$ は以下のようになる. \begin{align} {\widehat R}_{H_N}^{\alpha, \Theta} & = \bigcap_{\omega =(\mu, \sigma ) \in \Omega (={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \mbox{ such that } \pi(\omega)= \mu \in {H_N}(=(- \infty , \mu_0])} \{ E(x) (\in \Theta) : \;\; d^x_\Theta ({}E(x), \pi(\omega ) ) \ge \eta^\alpha_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{\overline{\mu}(x) \in \Theta(={\mathbb R}) \;:\; \mu_0 \le \overline{\mu}(x) - \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t(\alpha) \} \tag{6.86} \end{align} または, \begin{align} {\widehat R}_{H_N}^{\alpha, X} & = \bigcap_{\omega =(\mu, \sigma ) \in \Omega (={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \mbox{ such that } \pi(\omega)= \mu \in {H_N}(=(- \infty , \mu_0])} \{ x (\in X ={\mathbb R}^n) \; :\; d^x_\Theta ({}E(x), \pi(\omega ) ) \ge \eta^\alpha_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{ x (\in X ={\mathbb R}^n) \; :\; \mu_0 \le \overline{\mu}(x) - \frac{{\overline{\sigma}'(x)}}{\sqrt{n}} t(\alpha) \} \tag{6.87} \end{align}

注意6.25仮説検定にはいろいろな流儀がある. 一番自然なのは尤度比検定である。 量子言語による尤度比検定については,何度もチャレンジ(下記(a),(b)等)しているがなかなか普及しない.やはり,「自然さ」よりも「使いやすさ」なのだろう.