7.1: 零元ANOVA (= Student $t$-分布 )

同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」は前に述べた. これの多元化が,分散分析である.　したがって,同時正規測定の「スチューデント化した仮説検定」をもう一度ここで復習する.　もちろん,多元化し易い形で復習するわけで,この意味で, 「零元配置分散分析」というタイトルをつけた.
さて, \begin{align*} \mbox{ 古典系の基本構造 $[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$ } \end{align*} に集中しよう.
ここで, \begin{align*} \Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ = \{ (\mu, \sigma ) \;|\; \mu \mbox{は実数,} \sigma \mbox{は正数} \} \end{align*} として, 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ ( in $L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$) を考えよう. 繰り返しになるが, $L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ は以下のように定めた.

\begin{align} & [{{{G}}}^n (\mathop{✕}_{k=1}^n \Xi_k)] ({}\omega{}) = \mathop{✕}_{k=1}^n [{{{G}}}(\Xi_k)](\omega) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n} \underset{{\mathop{✕}_{k=1}^n \Xi_k }}{\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2 } {2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \tag{7.1} \\ & \qquad ({}\forall \Xi_k \in {\cal B}_{{\mathbb R}{}}^{} ({}k=1,2,\ldots, n), \quad \forall {}{\omega}=(\mu, \sigma ) \in \Omega = {\mathbb R}\times {\mathbb R}_+{}). \nonumber \end{align}

状態空間$\Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+$, 測定値空間$X={\mathbb R}^n$. 第二状態空間(=パラメータ空間) $\Theta={\mathbb R}$ としよう. また,推定量 $E:X(={\mathbb R}^n) \to \Theta(={\mathbb R})$ を次のように定める. \begin{align} E(x)=E(x_1, x_2, \ldots , x_n ) = \overline{\mu}(x) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \tag{7.2} \end{align} システム量 $\pi:\Omega(={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \to \Theta(={\mathbb R})$ を次のように定める. \begin{align} \Omega(={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+) \ni \omega = (\mu, \sigma ) \mapsto \pi (\mu, \sigma ) = \mu \in \Theta(={\mathbb R}) \tag{7.3} \end{align} スチューデント化の要点は, パラメータ空間$\Theta (={\mathbb R})$の半距離 $d_\Theta^x (\forall x \in X)$で,次のように定めたことであった： \begin{align} d_\Theta^x (\theta^{(1)}, \theta^{(2)}) = \frac{|\theta^{(1)}-\theta^{(2)}|}{\sqrt{n}{\overline{\sigma}(x)}} = \frac{|\theta^{(1)}-\theta^{(2)}|}{\sqrt{\overline{SS}(x)}} \quad \qquad (\forall x \in X={\mathbb R}^n, \forall \theta^{(1)}, \theta^{(2)} \in \Theta={\mathbb R} ) \tag{7.4} \end{align} ここで, \begin{align*} {{\overline{SS}}} (x) = {{\overline{SS}}} (x_1,x_2,\ldots , x_n ) = {\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2} \quad( \forall x=(x_1,x_2,\ldots , x_n ) \in {\mathbb R}^n) \nonumber \end{align*} であった.

前章で述べたように, 我々の問題は,以下の通りであった.

解答. さて, 任意の $ \omega=(\mu_0, \sigma ) ({}\in \Omega= {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ )$に対して, 次のように計算する. \begin{align} & [G^n(\{ x \in X \;:\; d^x_\Theta ( E(x) , \pi( \omega ) ) \ge \eta \} )](\omega ) \nonumber \\ =& [G^n(\{ x \in X \;:\; \frac{ |\overline{\mu}(x)- \mu_0 |}{ {{{\sqrt{\overline{SS}(x)}}}} } \ge \eta \} )](\omega ) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n} \underset{ \eta \sqrt{n-1} \le \frac{ |\overline{\mu}(x)- \mu_0 |}{ {\sqrt{\overline{SS}(x)}} /\sqrt{n-1} } }{\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu_0} {})^2 } {2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }{}}})^n} \underset{ \eta^2 n({n-1}) \le \frac{ n(\overline{\mu}(x))^2 }{ {\overline{SS}(x)}/({n-1}) } } {\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} {} {})^2 } {2 } {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \tag{7.6} \end{align}

ここに, $p_{(1,{{n}}-1) }^F$ は自由度$(1,n-1)$の$F$-分布の確率密度関数とする. ここで, 自由度$(n_1,n_2)$の$F$-分布の確率密度関数 $p_{(n_1,n_2)}^F(t)$ は,$B(\cdot, \cdot)$はベータ関数を使って,

• 自由度$(1,n-1)$の$F$-分布 = 自由度$(n-1)$のスチューデントの$t$-分布

正数$\alpha$として,$\alpha$-点： $F_{n_1, \alpha}^{n_2}$ $( > 0)$ を次のように定める.

として, 結局,棄却域${\widehat R}_{{H_N}}^{\alpha; \Theta}$( (or ${\widehat R}_{H_N}^{\alpha; X}$) として, 次を得る;