木半順序集合$T=\{0,1,2, \cdots, n\}$を全順序として, 親写像 $\pi : T\setminus \{0\} \to T$ を $\pi(k) = k-1$ で定める. \begin{align*} & 0 \xleftarrow[]{\quad \pi \quad} 1 \xleftarrow[]{\quad \pi \quad} 2 \xleftarrow[]{\quad \pi \quad} \cdots \xleftarrow[]{\quad \pi \quad} n-1 \xleftarrow[]{\quad \pi \quad} n \\ & \qquad \mbox{図16.3: 線形順序構造} \end{align*} 各$k \in T$に対して, 可換$W^*$-代数 \begin{align*} \overline{\mathcal A}_k =L^\infty ( \Omega_k , m_k )= L^\infty ( {\mathbb R}, d \omega ) \quad \mbox{(ここに $d \omega$は実数体${\mathbb R}$上のルベーグ測度とする)} \end{align*} したがって,この前共役バナッハ空間 $(\overline{\mathcal A}_k)_*$は次のようになる. \begin{align*} (\overline{\mathcal A}_k)_* =L^1 ( \Omega_k , m_k )= L^1 ( {\mathbb R}. d \omega ) \quad (k \in T =\{0,1,2, \cdots, n \}) \end{align*}

ここで,観測量列 $[{\mathbb O}_T] $ $=$ $[ \{{\mathsf O}_t \}_{t \in T}$, $\{ \Phi^{t-1, t} : {\cal N}_{t} \to {\cal N}_{t-1} \}_{T=1,2, \cdots, n} $ $]$ を考えよう. 初期状態を $z_0 \in L^1_{+1} (\Omega_0 , m_0 )$ とする.

すなわち,次の状況を設定したことになる. \begin{align*} \small{ \overset{\mbox{初期状態$z_0$}}{\underset{{\mathsf O}_0=(X_0, {\mathcal F}_0 F_0)}{\fbox{$L^\infty(\Omega_0, m_0 )$}}} \xleftarrow[]{\Phi^{0,1}} \underset{{\mathsf O}_1=(X_1, {\mathcal F}_1 F_1)}{\fbox{$L^\infty(\Omega_1, m_1 )$}} \xleftarrow[]{\Phi^{1,2}} \cdots \xleftarrow[]{\Phi^{s-1,s}} \underset{{\mathsf O}_s=(X_s, {\mathcal F}_s F_s)}{\fbox{$L^\infty(\Omega_s, m_s )$}} \xleftarrow[]{\Phi^{s,s+1}} \cdots \xleftarrow[]{\Phi^{n-1,n}} \underset{{\mathsf O}_n=(X_n, {\mathcal F}_n F_n)}{\fbox{$L^\infty(\Omega_n, m_n )$}} } \end{align*} また,これと同値の意味で, \begin{align*} \small{ \overset{\mbox{初期状態$z_0$}}{\underset{{\mathsf O}_0=(X_0, {\mathcal F}_0, F_0)}{\fbox{$L^1(\Omega_0, m_0 )$}}} \xrightarrow[]{\Phi_*^{0,1}} \underset{{\mathsf O}_1=(X_1, {\mathcal F}_1, F_1)}{\fbox{$L^1(\Omega_1, m_1 )$}} \xrightarrow[]{\Phi_*^{1,2}} \cdots \xrightarrow[]{\Phi_*^{s-1,s}} \underset{{\mathsf O}_s=(X_s, {\mathcal F}_s, F_s)}{\fbox{$L^1(\Omega_s, m_s )$}} \xrightarrow[]{\Phi_*^{s,s+1}} \cdots \xrightarrow[]{\Phi_*^{n-1,n}} \underset{{\mathsf O}_n=(X_n, {\mathcal F}_n, F_n)}{\fbox{$L^1(\Omega_n, m_n )$}} } \end{align*}
初期条件 $z_0 (\in L^1_{+1} (\Omega_0 , m_0 ))$ を具体的に次のように定めよう. \begin{align} z_0(\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_0} \exp[- \frac{(\omega_0-\mu_0)^2}{2 \sigma_0^2} ] \qquad( \forall \omega_0 \in \Omega_0) \tag{16.3} \end{align}

ここで, $\mu_0$ and $\sigma_0$ は既知とする.
また,　各$t \in T =\{0,1, \cdots, n \}$に対して, $L^\infty ( \Omega_t, m_t )$内の観測量 ${\mathsf O}_t=(X_t, {\mathcal F}_t, F_t)$ $=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{{\mathbb R}}, F_t )$ を具体的に次のように定める.

\begin{align} & \small{ [F_t (\Xi_t )](\omega_t) = \int_{\Xi_t} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} {q}_t} \exp[ -\frac{(x_t -c_t \omega_t -d_t)^2}{2{q}_t^2} ] dx_t \equiv \int_{\Xi_t} f_{x_t}(\omega_t) dx_t \quad(\forall \Xi_t \in {\mathcal F}_t, \;\; \forall \omega_t \in \Omega_t ) } \\ & \tag{16.4} \end{align}

ここで, $c_t$, $d_t$と$q_t$ $(t \in T)$は既知とする.
さらに,因果作用素 $\Phi^{t-1.t}:L^\infty (\Omega_t) \to L^\infty ( \Omega_{t-1})$ を次のように定める.

\begin{align} & [\Phi^{t-1,t} \widetilde{f}_{x_{t}}](\omega_{t-1} ) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} r_t} \exp[ -\frac{(\omega_t - a_t \omega_{t-1} -b_t )^2}{2r_t^2} ] \widetilde{f}_{x_{t}} ) d \omega_{t} \equiv f_{t-1}(\omega_{t-1}) \\ & \qquad \qquad \qquad (\forall \widetilde{f}_{x_{t}} \in L^\infty(\Omega_{t}, m_{t}), \;\; \forall \omega_{t-1} \in \Omega_{t-1}) \tag{16.5} \end{align}

ここで, $a_t$, $b_t$ と $r_t$ $(t \in T)$ は既知とする.




また,これと同値の意味で, 前共役因果作用素 $\Phi_*^{t-1.t}:L^1_{+1} (\Omega_{t-1}) \to L^1_{+1} ( \Omega_{t})$ は次のように定まる.

\begin{align} & [\Phi^{t-1,t}_* \widetilde{z}_{t-1}](\omega_t ) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} r_t} \exp[ -\frac{(\omega_t - a_t \omega_{t-1} -b_t )^2}{2r_t^2} ] \widetilde{z}_{t-1}(\omega_{t-1}) d\omega_{t-1} \tag{16.6} \\ & \qquad \qquad \qquad (\forall \widetilde{z}_{t-1} \in L^1_{+1}(\Omega_{t-1}, m_{t-1}), \; \forall \omega_t \in \Omega_t) \nonumber \end{align}

したがって, 因果観測量列 $[{\mathbb O}_T] $ $=$ $[ \{{\mathsf O}_t \}_{t \in T}$, $\{ \Phi^{t-1, t} : {\cal N}_{t} \to {\cal N}_{t-1} \}_{T=1,2, \cdots, n} $ を得る.　その実現を $\widehat{\mathsf O}_{0}$ $({{{\times}}}_{t=0}^n X_t, \boxtimes_{t=0}^n {\mathcal F}_t, {\widehat F} )$として,次の問題を得る.

問題16.2 [カルマンフィルタ; 計算] 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_0)}$ $(\widehat{\mathsf O}_{0},$ $ \overline{S}_{[\ast]}(z_0 ) )$ によって,測定値 $(x_0, x_2, \cdots, x_n )$ $(\in {{{\times}}}_{t=0}^n X_t)$ が得られたとしよう. $s(\in T)$を固定する. このとき,(16.2)で定めた ベイズ-カルマン作用素 $[B_{\widehat{\mathsf{O}}_{0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \{x_t\})] ( z_0 )$ を計算せよ.すなわち, \begin{align*} [B_{\widehat{\mathsf{O}}_{0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \{x_t\})] ( z_0 ) = \lim_{\Xi_t \to x_t \;(t\in T)} [B_{\widehat{\mathsf{O}}_{0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t)](z_0) \end{align*} を計算せよ. すなわち, \begin{align*} L^1_{+1}(\Omega_0) \ni {{z}}_0 \xrightarrow[B_{\widehat{\mathsf{O}}_{0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \{x_t\})]{\mbox{測定値　:}(x_0,x_1,...,x_n)} {{z}}_s^a \in L^1_{+1}(\Omega_s) \end{align*} を計算せよ。