定理9.11(特に、ベイズ作用素 (9.5)) の拡張が、ベイズ=カルマン作用素である。 以下に、これを説明しよう。

$\quad$ 前章で見たように, 「回帰分析」の歴史は紆余曲折であったが, これは「カルマン・フィルター」にも言える. カルマン・フィルターの本質は ベイズ統計であるが, このことを明言しないで, カルマン・フィルターが発展してきたという事実は, 興味深い. 本章ではベイズ統計を前面に出した議論をする.

ルート $t_0$ を持つ 木半順序集合$T=\{t_0, t_1, ..., t_n\}$ を考える。 各$t \in T$に対して、 次の古典基本構造を考える：

\begin{align*} [C_0(\Omega_t) \subseteq L^\infty ( \Omega_t, m_t) \subseteq B(L^2(\Omega_t, m_t ) ) ] \end{align*}

因果観測量列 $[{\mathbb O}_T{}]$ $=$ $[{} \{ {\mathsf{O}}_t ({}\equiv ({}X_t ,$ $ {\cal F}_{t} , {F}_t )) \}_{ t \in T} , \{ \Phi^{t_1,t_2}{}: $ $L^\infty (\Omega_{t_2}) \to L^\infty (\Omega_{t_1}) \}_{(t_1,t_2) \in T^2_\le }$ $]$ は$L^\infty (\Omega_{t_0})$ 内の 実現因果作用素 $\widehat{\mathsf{O}}_{t_0} $ $\equiv$ $({{{\times}}}_{t \in T } X_t , $ $\boxtimes_{t \in T } {\cal G}_t,$ ${\widehat F}_{t_0})$ を持つと仮定する。 たとえば、次図を想定すればよい。






各$t \in T$に対して, $L^\infty(\Omega_t, m_t )$内に もう一つの観測量 ${\mathsf O}_t'=( Y_t, {\mathcal G}_t, G_t)$ を考えて、 同時観測量 ${\mathsf O} \times {\mathsf O}_t'=( X_t \times Y_t, {\mathcal F}_t \boxtimes {\mathcal G}_t, F_t \times G_t)$ を定めておく。 ここで、 因果観測量列 $[{\mathbb O}_T^\times{}]$ $=$ $[{} \{ {\mathsf{O}}_t^\times ({}\equiv ({}X_t \times Y_t ,$ $ {\cal F}_{t} \boxtimes {\cal G}_t , {F}_t \times G_t )) \}_{ t \in T} , \{ \Phi^{t_1,t_2}{}: $ $L^\infty (\Omega_{t_2}) \to L^\infty (\Omega_{t_1}) \}_{(t_1,t_2) \in T^2_\le }$ $]$ を考えて、$L^\infty (\Omega_{t_0})$内のその実現を $\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}^\times $ $\equiv$ $({{{\times}}}_{t \in T } (X_t \times Y_t) , $ $\boxtimes_{t \in T } ({\cal F}_{t} \boxtimes {\cal G}_t),$ ${\widehat H}_{t_0})$ とする。


たとえば,

ここで、 混合状態$z_0 \in L^1_{+1} (\Omega_{t_0} )$を決めて,混合測定 ${\mathsf M}_{C(\Omega_{t_0})} (\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}^\times, \overline{S}_{[\ast]}(z_0 ) )$ を得る.

測定 ${\mathsf M}_{C(\Omega_{t_0})} (\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}^\times, \overline{S}_{[\ast]}(z_0 ) )$ によって得られた 測定値 $(x,y)$ $( = ( (x_t)_{t\in T}, (y_t)_{t\in T}, ) \in ({{{\times}}}_{t \in T} X_t) {{{\times}}}$ $ ({{{\times}}}_{t \in T} Y_t) )$ が, $({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t) {{{\times}}} $ $ ({{{\times}}}_{t \in T}Y_t) \;$ $(\in (\boxtimes_{t \in T}{\mathcal F}_t) \boxtimes (\boxtimes_{t \in T} {\mathcal G}_t) )$ に属していることがわかったとしよう. このとき, ベイズの定理 (定理9.11), つぎのように推定できる.

$(A):$ $y$が${{{\times}}}_{t \in T} \Gamma_t (\in \boxtimes_{t \in T} {\cal G}_t)$に属する確率$ P_{\times_{t \in T} \Xi_t} ( (G_t (\Gamma_t))_{t \in T} ) $は,次で与えられる., \begin{align} & P_{\times_{t \in T} \Xi_t} ( (G_t (\Gamma_t))_{t \in T} ) \nonumber \\ = & \frac{\int_{\Omega_0} [ {\widehat H}_{t_0} ( ({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t) {{{\times}}} ({{{\times}}}_{t \in T} \Gamma_t) ) ] (\omega_0) \; z_0 (\omega_0 ) \; m_0 (d \omega_0) }{ \int_{\Omega_0} [ {\widehat H}_{t_0} ({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t) {{{\times}}} ({{{\times}}}_{t \in T}Y_t) ](\omega_0) \; z_0 (\omega_0 ) \; m_0(d \omega_0 )} \tag{16.1} \\ & \quad (\forall \Gamma_t \in {\cal G}_t, t \in T). \nonumber \end{align}
さて, $s \in T$ を固定する. また,次を仮定しよう. \begin{align*} \Gamma_t = Y_t \quad (\forall t \in T \mbox{ such that $t \not= s$}) \end{align*}

ここで, ${\widehat P}_{\times_{t \in T} \Xi_t} ( G_s (\Gamma_s) )=P_{\times_{t \in T} \Xi_t} ( (G_t (\Gamma_t))_{t \in T} )$ とおいて, $ {\widehat P}_{\times_{t \in T} \Xi_t} \in L^1_{+1}(\Omega_s, m_s ) $. と見なす. すなわち, $ z_s^a \in L^1_{+1} (\Omega_s , m_s) $ が一意に存在して,$L^\infty (\Omega_s)$内の 任意の観測量 $(Y_s, {\cal G}_s, G_s)$ に対して,次を満たすようにできる.

\begin{align} & {\widehat P}_{\times_{t \in T} \Xi_t} ( (G_s (\Gamma_s)) = {}_{{}_{L^1(\Omega_s)}} \langle z_s^a, G_s (\Gamma_s) \rangle {}_{{}_{L^\infty(\Omega_s)}} = \int_{\Omega_s} [G_s (\Gamma_s)](\omega_s ) z_s^a(\omega_s ) m_s ( d \omega_s ) \tag{16.2} \end{align}

なぜならば, 線形汎関数 ${\widehat P}_{\times_{t \in T} \Xi_t} : L^\infty(\Omega_s ) \to {\mathbb C} $ (複素数体) は汎弱位相の意味で連続だからである. 結局, ベイズ-カルマン作用素 $[B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t)]: L^1_{+1}(\Omega_{t_0})$ $ \to L^1_{+1}( \Omega_s)$ を次のように得たことになる.

$(B):$ $ \quad \overset{\text{(事前状態)}}{ \underset{ (\in L^1_{+1}(\Omega_{t_0}))} {\fbox{$ {z_0} $ }} } \xrightarrow[\text{ ベイズ-カルマン作用素}]{\mbox{ $\qquad [B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \Xi_t)] \qquad$}} \overset{\text{(事後状態)}}{ \underset{( \in L^1_{+1}(\Omega_s))} {\fbox{$ {z_0^a} $ }} } $
これは, 第9章のベイズの定理の一般化である.

注意16.1 量子言語の立場から、ベイズ=カルマンフィルターの理論的側面については、 等で何度も基礎的な議論してきたが、たとえば、
$\bullet$ S. Ishikawa, "A Measurement Theoretical Foundation of Statistics," Applied Mathematics, Vol. 3, No. 3, 2012, pp. 283-292. doi: 10.4236/am.2012.33044 ( download free)
やはり 応用が重要で、本章ではベイズ=カルマンフィルターの数値解析的側面を議論する。