16.5.1: 計算：
$
\Big(
F_{s} (\Xi_{s})
\Phi^{s,s+1}{\widehat F}_{s+1}({{{\times}}}_{t=s+1}^n \Xi_{t})
\Big)
$
in (16.9)
(in $\S$16.3)
ここで,
$c_n$, $d_n$と$q_n$
$(t \in T)$
は既知とする.
さて,次のようにおく.
さらに, 補題16.3から,因果作用素
$\Phi^{t-1.t}:L^\infty (\Omega_t) \to L^\infty ( \Omega_{t-1})$
を次のように計算できる.
さて,次のように考えて,
\begin{align}
\widetilde{f}_{x_n}(\omega_n)
&
=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi} {q}_n}
\exp[
-\frac{(x_n -c_n \omega_n - d_n)^2}{2{q}_n^2}
]
\nonumber \\
&
\approx
\exp[
-\frac{(c_n \omega_n -( x_n-d_n))^2}{2{q}_n^2}
]
\equiv
\exp[
-
\frac
{1}{2}
\Big(\widetilde{u}_n \omega_n -\widetilde{v}_n \Big)^2
]
\tag{16.19}
\end{align}
さらに, 補題16.3より,
\begin{align}
\widetilde{f}_{x_{t-1}}(\omega_{t-1})
&
=
\exp[
-\frac{(c_{t-1} \omega_{t-1} + d_{t-1}-x_{t-1})^2}{2{q}_{t-1}^2}
]
\exp[
-\frac{({{u}}_{t-1} \omega_{t-1}-{{v}_{t-1}})^2}{2}
]
\nonumber \\
&
\approx
\exp
[
-\frac{1}{2}
(
\frac{c_{t-1}^2 + u_{t-1}^2 q_{t-1}^2}{q_{t-1}^2 }
)
\Big(\omega_{t-1} -
\frac{
{c_{t-1}(d_{t-1}-t_{t-1})}
+
{u_{t-1}v_{t-1}}{q_{t-1}^2}
}{{c_{t-1}^2} + {u_{t-1}^2}{q_{t-1}^2}}
\Big)^2
]
\nonumber \\
&
\approx
\exp[
-\frac{1}{2}
\Big({\widetilde{u}}_{t-1} \omega_{t-1}-{\widetilde{v}_{t-1}}
\Big)^2
]
\tag{16.23}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
{{\widetilde{u}}_{t-1}}
=
\frac{\sqrt{c_{t-1}^2 + u_{t-1}^2 q_{t-1}^2}}{q_{t-1} },
\;\;
{{\widetilde{v}}_{t-1}}
=
\frac{
{c_{t-1}(d_{t-1}-t_{t-1})}
+
{u_{t-1}v_{t-1}}{q_{t-1}^2}
}{q_{t-1} \sqrt{{c_{t-1}^2} + {u_{t-1}^2}{q_{t-1}^2}}}
\tag{16.24}
\end{align}
上の(16.19)-(16.24)をまとめると,
\begin{align*}
{\scriptsize
{
\overset{\widetilde{u}_s, \widetilde{v}_s}{
\underset{\widetilde{w}_s}{\fbox{$\widetilde{f}_{x_s}$}}
}}
\xleftarrow[]{\mbox{$x_s$}}
\cdots
\xleftarrow[]{\Phi^{t-2,t-1}}
{
\overset{\widetilde{u}_{t-1}, \widetilde{v}_{t-1}}{
\underset{\widetilde{w}_{t-1}}{
{{\fbox{$\widetilde{f}_{x_{t-1}}$}}}}}}
\xleftarrow[(16.24)]{{x_{t-1}}}
{
\overset{{u}_{t-1}, {v}_{t-1}}{
\underset{w_{t-1}}{
\fbox{${f}_{t-1}$}}}
}
\xleftarrow[(16.22)]{\Phi^{t-1,t}}
{
\overset{\widetilde{u}_t, \widetilde{v}_t}{
\underset{{\widetilde{w}_t}}{
\fbox{$\widetilde{f}_{x_t}$}}}
}
\xleftarrow[]{{x_{t}}}
\cdots
\xleftarrow[]{{x_{n-1}}}
{
\overset{{u}_{n-1}, {v}_{n-1}}{
\underset{{w}_{n-1}}{
\fbox{${f}_{n-1}$}}}
}
\xleftarrow[]{\Phi^{n-1,n}}
{
\overset{{\widetilde{u}_n \widetilde{v}_n}}{\underset{{\widetilde{w}_n}}{\fbox{$\widetilde{f}_{x_n}$=(16.20)}}}
}
}
\end{align*}
したがって,次を得る.
\begin{align}
\widetilde{f}_{x_s}
\approx
\lim_{\Xi_t \to x_t \;( t \in \{s.s+1, \cdots, n\})}
\frac{
\Big(
F_{s} (\Xi_{s})
\Phi^{s,s+1}{\widehat F}_{s+1}({{{\times}}}_{t=s+1}^n \Xi_{t})
\Big)}
{
\|
F_{s} (\Xi_{s})
\Phi^{s,s+1}{\widehat F}_{s+1}({{{\times}}}_{t=s+1}^n \Xi_{t})
\Big)
\|_{L^\infty (\Omega_s )}
}
\tag{16.25}
\end{align}
in (16.9)(in $\S$16.3)
結局,
問題16.2は,次のように解くことができる.
すなわち,
注意16.5
以下の分類は通常と思う.
$(A_1):$
平滑化: $0 \le s < n$の場合
$(A_2):$
フィルタ:
$s= n$の場合
$(A_3):$
予測:
$s= n$の場合で,しかも,
$n_0 \le m < n$を満たす任意の$m$に対して,,
観測量 $(X_m, {\mathcal F}_m, F_m )=
(\{1\}, \{\emptyset ,\{1 \} \}, F_m )$
が
$F_m(\emptyset )\equiv 0$,
$F_m(\{ 1 \} )\equiv 1$
を満たす場合
16.5:カルマンフィルタの平滑化部分の計算：
This web-site is the html version of "Linguistic Copehagen interpretation of quantum mechanics; Quantum language [Ver. 4]" (by Shiro Ishikawa; [home page] )
PDF download : KSTS/RR-18/002 (Research Report in Dept. Math, Keio Univ. 2018, 464 pages)
解答 16.4 [問題16.2 (カルマンフィルタ)の解答]
測定
${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_0)}$
$(\widehat{\mathsf O}_{0},$
$
\overline{S}_{[\ast]}(z_0 )
)$
によって,測定値
$(x_0, x_2, \cdots, x_n )$
$(\in {{{\times}}}_{t=0}^n X_t)$
が得られたとしよう.
$s(\in T)$を固定する.
このとき,
ベイズ-カルマン作用素
$[B_{\widehat{\mathsf{O}}_{0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \{x_t\})]
( z_0 )$
は次のように計算できる.
\begin{align*}
\Big([B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0} }^s({{{\times}}}_{t \in T} \{x_t\})]
z_0
\Big)(\omega_s)
=
\frac{\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s ) \cdot z_s (\omega_s )}{
\int_{-\infty}^{\infty}
\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s ) \cdot z_s (\omega_s )
d \omega_s
}
\quad
(
\forall \omega_s \in \Omega_s
)
\end{align*}
ここで,
$z_s$
(in (16.18))
と
$\widetilde{f}_{x_s}$
(in
(16.25)
)
は,この節で述べたように,逐次に計算すればよい.
