理工系の大学一年の数学は、「微積分」と「行列(線形代数)」の二本立てになっている

$(\flat_1)$ 「微積分」は、
[偏微分・重積分]$\longrightarrow$[ベクトル解析(ストークスの定理、ガウスの発散定理(微分幾何)]
と進み、
$(\flat_2)$ 「行列(線形代数)」は、
[有限次元ベクトル空間]$\longrightarrow$[行列(=線形写像)]$\longrightarrow$[対角化定理]
と進んだのであった。

数学系の学科の3,4年で履修することであるが、 ヒルベルト空間論は「行列(線形代数):$(\flat_2)$」の無限次元版で、

$(\flat_3)$ 「ヒルベルト空間論」は、
[無限次元ベクトル空間]$\longrightarrow$[線形写像]$\longrightarrow$[対角化定理(=スペクトル分解定理)]
と進む。したがって、「$(\flat_2) \doteqdot (\flat_3)$」と思っていいだろう。
ここで、次の疑問は当然だろう
$(\flat_4)$ 数学には、代数とかいろいろあるのに、なぜ「微積分」と「行列(線形代数)」を大学一年で学ぶのだろうか?
この答えとしては、「昔からそうだから」とか「世界的にそうだから」としか、大学教員も答えられないかもしれないが、世界記述的(本書的)観点からいえば $$ \begin{cases} \mbox{「微積分(微分幾何学)」} & \cdots \cdots 相対性理論(実在的科学観) \\ \mbox{「行列(線形代数・ヒルベルト空間論)」} & \cdots \cdots 量子力学(言語的科学観) \end{cases} $$ 同じ意味で、はっきり言ってしまうと、 $$ \begin{cases} (\flat_1) \doteqdot \mbox{電磁気学} \\ (\flat_2) \doteqdot \mbox{量子力学} \end{cases} $$ であって、標語的に言えば、
  • 役に立つ数学の背後には、必ず世界記述法が潜んでいる
である。

2.2.1: 量子系の基本構造$[{\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H)]$: コンパクト作用素, トレース作用素


量子系の場合には, 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$は次のようになる。

\begin{align} [{\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H)] \tag{2.7} \end{align} すなわち,
  • 量子系の基本構造:$[{\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H)]$
\(\require{AMScd}\) \begin{align} \begin{CD} {\mathcal Tr}(H) @. @. \\ @AA{\mbox{ dual}}A @. \\ \quad \fbox{${\mathcal C}(H)$} \quad @>{\subseteq}>\mbox{ subalgebra$\cdot$weak-closure}> \quad \fbox{$B(H) $}\quad @>{\subseteq}>\mbox{ subalgebra}> \quad \fbox{${B(H)}$}\quad \\ @. @VV{\mbox{ pre-dual}}V \\ @. {\mathcal Tr}(H) @. \\ \tag{2.8} \end{CD} \end{align}

ここで、"コンパクト作用素クラス ${\mathcal C}(H)$"と"トレースクラス${\mathcal Tr}(H)$"は、以下に説明する。

以下の定理 2.6と2.7で、"コンパクト作用素クラス ${\mathcal C}(H)$"と"トレースクラス${\mathcal Tr}(H)$"を説明するが、 その前に、"ディラック記号"と"CONS"について述べておく。

定義2.5 [(i): ディラック記号]

$u, v \in H$として, $| u \rangle \langle v | \in B(H)$を以下のように定める. \begin{align} (| u \rangle \langle v |)w = \langle v , w \rangle u \quad (\forall w \in H) \tag{2.9} \end{align} ここで, $\langle u |$をブラ・ベクトル, $| u \rangle$をケット・ベクトルと呼ぶ.

[(ii):ONS(正規直交系), CONS(完全正規直交系)]

ヒルベルト空間$H$内の 点列$\{e_k\}_{k=1}^\infty$ は、次を満たすときONS(orthonormal system;正規直交系) と呼ばれる:

$(\sharp)$$\langle e_k, e_j \rangle = \left\{\begin{array}{ll} 1 \quad & (k = j ) \\ 0 \quad & (k \not= j ) \end{array}\right. $

さらに、 ONS $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ が次を満たすとき、CONS(complete orthonormal system;完全正規直交系) と呼ばれる:

$(\sharp)$ $\langle x, e_k \rangle =0 \; (\forall k=1,2,...)$ $\;\; \Longrightarrow \;\;$ $x=0$.






定理 2.6 [コンパクト作用素クラス ${\mathcal C}(H)$の性質]
簡単のため,以下での「$B(H)$内 での収束」は「弱収束」とする. ${\mathcal C}(H) (\subseteq B(H))$をコンパクト作用素全体の空間とする. このとき, 次の($C_1$)-($C_4$)( 特に, ($C_1$)$\leftrightarrow$ ($C_2$) ) が,成立する.

$(C_1):$ $T \in {\mathcal C}(H)$. ここで,$T ( \in B(H) )$がコンパクト作用素であるとは, ヒルベルト空間$H$内の点列 $\{u_n \}_{n=1}^\infty$が有界列ならば, $\{Tu_n \}_{n=1}^\infty$は収束する部分列を持つ ことである。
$(C_2):$ ヒルベルト空間$H$内に二つの正規直交系 $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ と $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ と $\lim_{k \to \infty } \lambda_k =0$なる 非負数列$\{\lambda_k \}_{k=1}^\infty$を定めて \begin{align} T=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k |e_k \rangle \langle f_k| %\quad \mbox{()} \tag{2.10} \end{align} と表現できる.
$(C_3):$ コンパクト作用素の空間 ${\mathcal C}(H)( \subseteq B(H))$は $C^*$-代数で,$T (\in {\mathcal C}(H))$を($C_2$)のように表現したとき, \begin{align} \| T \|_{B(H)}= \max_{k=1,2, \cdots } \lambda_k \tag{2.11} \end{align} と計算できる.
$(C_4):$ コンパクト作用素の空間${\mathcal C}(H)$の弱閉包は, $B(H)$となる. すなわち, \begin{align} \overline{{\mathcal C}(H)}=B(H) \tag{2.12} \end{align}
定理 2.7 [トレースクラス${\mathcal Tr}(H)$の性質]
簡単のため,以下での収束は「弱収束」とする. 次の($D_1$)-($D_4$)が,成立する. ($D_1$)と($D_2$)は同値として,すなわち, ${\mathcal Tr}(H)$(トレース作用素全体の空間)の定義を ($D_2$)とする.
$(D1):$$T (\in {\mathcal C}(H) \subseteq B(H))$をトレース作用素とする. すなわち, $T \in {\mathcal Tr}(H)$
$(D2):$ヒルベルト空間$H$内に二つの正規直交系 $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ と $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ と $\sum_{k=1}^\infty \lambda_k < \infty$なる 正数列$\{\lambda_k \}_{k=1}^\infty$を定めて \begin{align} T=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k |e_k \rangle \langle f_k| %\quad \mbox{()} \end{align} と表現できる.
$(D3):$ トレース空間 ${\mathcal Tr}(H)( \subseteq B(H))$は,コンパクト作用素の空間${\mathcal C}(H)( \subseteq B(H))$の共役バナッハ空間である.すなわち, \begin{align} {\mathcal C}(H)^*={\mathcal Tr}(H) \tag{2.13} \end{align} さらに, 共役ノルム$\| \cdot \|_{{\mathcal C}(H)^*}$はトレースノルムと呼ばれ, $\| \cdot \|_{tr}$と記されて, \begin{align} \|T\|_{tr}= \sum_{k=1}^\infty \lambda_k \tag{2.14} \end{align} となる.
$(D4):$ トレース空間 ${\mathcal Tr}(H)( \subseteq B(H))$の共役バナッハ空間は, $B(H)$となる. すなわち, \begin{align} {\mathcal Tr}(H)^*=B(H) \qquad \mbox{ 同じ意味で,} \qquad {\mathcal Tr}(H)=B(H)_* \tag{2.15} \end{align} となる.
注意2.8.[有限次元 ヒルベルト空間] ヒルベルト空間が有限次元のとき,すなわち, $$H={\mathbb C}^n =\{ z= \left[\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \end{array}\right] \;|\; z_k \in {\mathbb C}, k=1,2,...,n \} $$ のときは, \begin{align} M({\mathbb C},n)=\mbox{$(n\times n)$-複素行列全体} \end{align} として, \begin{align} {\mathcal A}=\overline{\mathcal A}=B({\mathbb C}^n)={\mathcal C}(H)= {\mathcal Tr}(H)=M({\mathbb C},n) \tag{2.16} \end{align}

となる. しかし, 空間(集合)は同じであるが, ノルムは,上記の($C_3$)と($D_3$)のように異なるので,注意しなければならない.

2.2.2 量子系の基本構造$[{\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H)]$と状態空間e


量子系の基本構造: \begin{align} [{\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H)] \end{align} と次の図式を考えよう
  • (E): 量子系の基本構造と状態空間
\begin{align} & \begin{array}{rlrlll} \underset{{{\mbox{ $C^*$-純粋状態}}}}{ {{\frak S}^p({\mathcal Tr}(H))}} \subset \underset{{\mbox{ $C^*$-混合状態}}}{ {{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))}} \subset & {\mathcal Tr}(H) &&&& \\ & \Big\uparrow \mbox{ dual} &&&& \\ & \fbox{$ {\mathcal C}(H)$} & \xrightarrow[\mbox{ subalgebra$\cdot$weak-closure}]{\subseteq} & \fbox{${B(H)}$} & \xrightarrow[\mbox{ subalgebra}]{\subseteq} \fbox{${B(H)}$} & \\ & && \Big\downarrow \;\mbox{ pre-dual} && \end{array} \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \underset{{\mbox{ $W^*$-混合状態}}}{\overline{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))} \subset {\mathcal Tr}(H) \nonumber \end{align}
以下にこれを説明する. まず、次を注意する。 \begin{align} {\mathcal C}(H)^*= {\mathcal Tr}(H), \qquad {\mathcal Tr}(H)^* = B(H) \label{2.18} \end{align} and \begin{align} & { {\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))=\overline{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H)) } \nonumber \\ = & \{ \rho = \sum_{n=1}^\infty \lambda_n | e_n \rangle \langle e_n | \;\;: \;\; \{e_n \}_{n=1}^\infty \mbox{ is ONS , }\sum_{n=1}^\infty \lambda_n=1, \lambda_n > 0 \} \nonumber \\ =: & {\mathcal Tr}_{+1}(H) \tag{2.19} \end{align} また,純粋状態空間は \begin{align} & {\frak S}^p({\mathcal Tr}(H)) \nonumber \\ = & \{ \rho= | e \rangle \langle e | \;\; : \;\; \|e\|_H=1 \} =:{\mathcal Tr}_{+1}^p(H) \tag{2.20} \end{align} したがって,同一視: \begin{align} {\frak S}^p({\mathcal Tr}(H)) \ni |u \rangle \langle u | \underset{\mbox{ 同一視}}{\longleftrightarrow} u \in H \qquad(\|u\|=1) \tag{2.21} \end{align} の下に, \begin{align} {\frak S}^p({\mathcal Tr}(H)) = \{ u \in H \;:\; \|u\|=1 \} \tag{2.22} \end{align} と見ることもできる. ただし,ここでは, 同一視: $u \approx e^{i\theta}u (\theta \in {\mathbb R})$を仮定する.
定義2.9 [Tr: トレース]. トレース${\mbox{Tr}}: {\mathcal Tr}(H) \to {\mathbb C}$ を次のように定める。 \begin{align} {\mbox{Tr}}(T) = \sum_{n=1}^\infty \langle e_n, T e_n \rangle \qquad (\forall T \in {\mathcal Tr}(H) ) \tag{2.23} \end{align} ここで、$\{e_n\}_{n=1}^\infty $はヒルベルト空間$H$内のCONS(完全正規直交系)。 ${\mbox{Tr}}(T)$の値はCONS $\{e_n\}_{n=1}^\infty $の選び方に依存しない。 また、次は頻繁に使う: \begin{align} _{_{{\mathcal Tr}{(H)}}}\Big( |u \rangle \langle u |, F \Big) {}_{_{B(H)}} = {\mbox{Tr}} ( |u \rangle \langle u | \cdot F ) = \langle u, F u \rangle \quad (\forall ||u||_H=1, F \in B(H) ) \tag{2.24} \end{align}
注意2.10 ヒルベルト空間が有限次元のとき,すなわち, $H={\mathbb C}^n$のときは, \begin{align} M({\mathbb C},n)=\mbox{$(n\times n)$-複素行列全体} \end{align} すなわち, $M({\mathbb C},n)$(="n次複素正方行列全体"), つまり, \begin{align} F= \left[\begin{array}{llll} f_{11} & f_{12} & \cdots & f_{1n}\\ f_{21} & f_{22} & \cdots & f_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1} & f_{n2} & \cdots & f_{nn} \end{array}\right] \in M({\mathbb C},n) \tag{2.25} \end{align} このとき, \begin{align} {\mathcal A}=\overline{\mathcal A}=B({\mathbb C}^n)={\mathcal C}(H)= {\mathcal Tr}(H)=M({\mathbb C},n) \tag{2.26} \end{align} であることは,前節で注意した.さらに, \begin{align} & {\mathcal Tr}_{+1}^D({\mathbb C}^n) = \Big\{ \mbox{対角行列 }F= \left[\begin{array}{llll} f_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & f_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f_{nn} \end{array}\right] \;\; \Big| \;\; f_{kk} \ge 0, \;\; \sum_{k=1}^n f_{kk}=1 \Big\} \\ & {\mathcal Tr}_{+1}^{DP}({\mathbb C}^n) = \Big\{ F= \left[\begin{array}{llll} f_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & f_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f_{nn} \end{array}\right] \in {\mathcal Tr}_{+1}^D({\mathbb C}^n) \;\; \Big| \;\; f_{kk} = 1 \; (\mbox{for some } k=j ), =0 \; ( k \not=j ) \Big\} \end{align} したがって, \begin{align} & \mbox{混合状態空間: }{\mathcal Tr}_{+1}({\mathbb C}^n) = \Big\{ U F U^\ast \;\; : \;\; F \in {\mathcal Tr}_{+1}^D ({\mathbb C}^n), \; \mbox{$U$ is a unitary matrix} \Big\} \\ & \mbox{純粋状態空間: }{\mathcal Tr}_{+1}^p({\mathbb C}^n) = \Big\{ U F U^\ast \;\; : \;\; F \in {\mathcal Tr}_{+1}^{DP} ({\mathbb C}^n), \; \mbox{$U$ is a unitary matrix} \Big\} \end{align}