目次:

2.3.1 古典系の基本構造$[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq {B(L^2( \Omega, \nu ))}]$

基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$は, 古典系では,

\begin{align} [C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq {B(L^2( \Omega, \nu ))}] \end{align} となり, 次の図式を得る.
(A): 古典系の基本構造: $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq {B(L^2( \Omega, \nu ))}]$ \(\require{AMScd}\) \[ \begin{CD} {\mathcal M}(\Omega) @. @. \\ @AA{\mbox{ dual}}A @. \\ \quad \fbox{$C_0(\Omega)$} \quad @>{\subseteq}>\mbox{ subalgebra$\cdot$weak-closure}> \quad \fbox{$ L^\infty(\Omega, \nu )$} \quad @>{\subseteq}>\mbox{ subalgebra}> \quad \fbox{$ B(L^2(\Omega, \nu ))$} \quad \\ @. @VV{\mbox{ pre-dual}}V \\ @. L^1(\Omega, \nu ) @. \\ \end{CD} \]

以下に,この図式を説明する.

2.3.1.1 可換$C^*$-代数 $C_0(\Omega)$

古典系の$C^*$代数は, 可換$C^*$代数${{\mathcal A}} =C_0(\Omega)$と見なせる. ここに, $\Omega$は局所コンパクト空間であるが, 具体的には, たとえば, $\Omega$として,

\begin{align} & {\mathbb R}(=\mbox{実直線}), \;\;{\mathbb R}^2(=\mbox{平面}), \;\; {\mathbb R}^n(=\mbox{$n$-次元ユークリッド空間}), \;\; \\ \\ & [a, b ](=\mbox{区間}), \;\; \underset{\mbox{ (with 離散距離 $d_D$)}}{\mbox{有限集合}\Omega(=\{\omega_1,..., \omega_n\})} \end{align} ここで、離散距離 $d_D$は次で定まる \[ d_D(\omega, \omega')=1 \;(\omega \not= \omega'), =0\;(\omega = \omega') \]

局所コンパクト空間$\Omega$上の関数空間$C_0(\Omega)$を次のように定義する.

\begin{align} C_0(\Omega) = \{f:\Omega \to {\mathbb C} \;|\; \mbox{$f$ is complex-valued continuous on $\Omega$, }\lim_{\omega \to \infty} f(\omega)=0 \} \end{align}

ここに, 「$\lim_{\omega \to \infty} f(\omega)=0$」の意味は,

(B): 任意の$\epsilon >0$に対して, 次を満たすコンパクト集合$K (\subseteq \Omega)$が存在する: \begin{align} \{ \omega \;|\; \omega \in \Omega \setminus K, |f(\omega)| > \epsilon \} = \emptyset \end{align}

したがって, $\Omega$がコンパクトならば, 条件「$\lim_{\omega \to \infty} f(\omega)=0$」は不要で, $C_0(\Omega)$を$C(\Omega)$と記すことが普通である. ただし,本書では,$\Omega$がコンパクトでも$C_0(\Omega)$と記すことが多々ある. 複素ベクトル空間$C_0(\Omega)$のノルム$\| \cdot \|_{C_0(\Omega )}$を \begin{align} \| f \|_{C_0(\Omega )}= \max_{\omega \in \Omega } |f(\omega)| \tag{2.31} \end{align} と定めて, バナッハ空間$( C_0(\Omega) ,\| \cdot \|_{C_0(\Omega )} )$を得る.


たとえば,,

さて,$\Omega$を 局所コンパクト空間として, 測度空間$(\Omega, {\cal B}_{\Omega}, \nu)$を考える. ここで, ${\cal B}_{\Omega}$ はボレル集合体, すなわち, $\Omega$内の すべての開集合を含む最小の$\sigma$-集合体とする. 更に, 次を仮定する:



(C): 任意の開集合$U \subseteq \Omega$ に対して,$0 < \nu (U) {\; \leqq \;} \infty$ が成立する. また, 測度$\nu$ は $\sigma$-有限 とする


$\fbox{注釈2.1}$ コンパクト化(Stone-Cechコンパクト化)して, $\Omega$を コンパクト空間とすると、理論的にはスッキリするが、本書ではそうしない。 また, 測度$\nu$は 有限測度 としても一般性を損なわない. たとえば, $\nu(\Omega)=1$としてもよい.


バナッハ空間 $L^r (\Omega, \nu)$ (ここで, $r = 1, 2, \infty $) を 複素数値可測関数$f: \Omega\to {\mathbb C}$ で, $\|f\|_{L^r (\Omega, \nu)} < \infty$ を満たす関数全体とする. ここで, 関数$f$の ノルム $\|f\|_{L^r (\Omega, \nu)} $ は

\begin{align} \|f\|_{L^r (\Omega, \nu)} < \infty \end{align} ノルム$\|f\|_{L^r (\Omega, \nu)} $ is defined by \begin{align} \|f\|_{L^r (\Omega, \nu)} = \left\{\begin{array}{ll} {\Big[ \int_{\Omega} |f (\omega)|^r \, \nu(d \omega) \Big]^{1/r}} \quad & \mbox{(when $r = 1, 2$)} \\ \\ \underset{\omega \in \Omega}{\mbox{ ess.sup} }|f (\omega)| & \mbox{(when $r = \infty$)} \end{array}\right. \end{align} ここに \begin{align} \mbox{ ess.sup}_{\omega \in \Omega} |f (\omega)| = \sup \{\in {\mathbb R} \;|\; \nu(\{ \omega \in \Omega \; :\; |f (\omega)| {\; \geqq \;}a \; \}) >0 \} \end{align}

$L^r (\Omega, \nu)$ は, 略して $L^r (\Omega)$ $($ または,詳しくは$L^r (\Omega, {\cal B}_{\Omega}, \nu)$ $)$ と記すこともある.

注意2.11 [$C_0(\Omega )\subseteq B(L^2( \Omega, \nu ) )$」の見方] ヒルベルト空間$H$を \begin{align} H=L^2( \Omega, \nu ) \end{align} とする. $f \in C_0(\Omega ) $に対して, $T_f \in B(L^2( \Omega, \nu ) )$ を \begin{align} L^2( \Omega, \nu ) \ni \phi \longrightarrow T_f( \phi) = f \cdot \phi \in L^2( \Omega, \nu ) \tag{2.33} \end{align} と定めて,次の同一視: \begin{align} C_0(\Omega ) \ni f \underset{同一視}{\longleftrightarrow} T_f \in B(L^2( \Omega, \nu ) ) \end{align} の下に, \begin{align} f \in C_0(\Omega ) \subseteq B(L^2( \Omega, \nu ) ) \tag{2.34} \end{align} と見る.

次は, 可換$C^*$代数$( C_0(\Omega) ,\| \cdot \|_{C_0(\Omega )} )$の共役バナッハ空間$( C_0(\Omega)^* ,\| \cdot \|_{C_0(\Omega )^*} )$について考える.  リースの定理によって,

\begin{align} C_0(\Omega)^*={\mathcal M}(\Omega)(=\mbox{$\Omega$上の複素数値測度全体}) \tag{2.35} \end{align}

である. したがって, $F \in C_0(\Omega)$, $\rho \in C_0(\Omega)^*={\mathcal M}(\Omega)$のとき, 双線形形式はいろいろな表現ができる. たとえば,

\begin{align} \rho(F) = _{\stackrel{}{C_0(\Omega)^* }}\Big(\rho, F \Big)_{\stackrel{}{{ C_0(\Omega) } }} = _{\stackrel{}{{\mathcal M}(\Omega)}}\Big(\rho, F \Big)_{\stackrel{}{{ C_0(\Omega) } }} = \int_\Omega F(\omega) \rho( d \omega ) \tag{2.36} \end{align} 等である. また, 共役ノルムは, \begin{align} & \|\rho\|_{C_0(\Omega)^* } = \sup \{ |\rho(F) \;|\; \|F\|_{C_0(\Omega)}=1 \} = \sup_{||F||_{C_0(\Omega)}=1}| \int_\Omega F(\omega ) \rho(d\omega)| \nonumber \\ = & \sup_{\Xi, \Gamma \in {\mathcal B}_\Omega} \Big( |Re(\rho(\Xi))-Re(\rho(\Xi^c))|^2 + |Im(\rho(\Gamma))-Im(\rho(\Gamma^c))|^2 \Big)^{1/2} \nonumber \\ = & \|\rho\|_{{\mathcal M}(\Omega)} \tag{2.37} \end{align}

ここに,   $\Xi^c$は$\Xi$の補集合で, $Re(z)$="複素数$z$の実部", $Im(z)$="$z$の虚部"とする.



したがって, \begin{align} \lim_{n \to \infty } | \Big\langle \phi, (f-f_n) \phi \Big\rangle_{L^2(\Omega, \nu )} | \le & \lim_{n \to \infty } \int_\Omega |f_n(\omega ) - f(\omega ) | \cdot | \phi ( \omega )|^2 \nu (d \omega ) \\ = & 0 \qquad \qquad (\forall \phi \in L^2 ( \Omega , \nu )) \end{align} だから, \begin{align} \mbox{$C_0(\Omega )$の弱閉 = $L^\infty ( \Omega, \nu )$ } \end{align} よって、次の古典系の基本構造を得る: \begin{align} [ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega ) \subseteq B(L^2( \Omega, \nu ) ) ] \tag{2.38} \end{align}
定理 2.12 [ゲルファントの定理] 一般基本構造: \begin{align} [ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H) ] \end{align} において、 ${\mathcal A} $は可換$C^*$-代数とする。 このとき、 次を満たす測度空間 $(\Omega, {\mathcal B}_\Omega, \nu )$ (ここに$\Omega$は局所コンパクト空間) が存在する: \begin{align} {\mathcal A}=C_0(\Omega ), \;\; \overline{\mathcal A}=L^\infty (\Omega, \nu ), \;\; B(H)=B(L^2 (\Omega, \nu )) \end{align} このとき、$\Omega$は スペクトラム と呼ばれる.

2.3.2 古典系の基本構造$[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq {B(L^2( \Omega, \nu ))}]$と状態空間

古典系の基本構造 $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq {B(L^2( \Omega, \nu ))}]$を考えよう. このとき, 状態空間としては,次の図式を得る.

(D):古典系の基本構造と状態空間 \begin{align} & \begin{array}{rlrlll} \underset{{\mbox{ $C^*$-純粋状態}}}{ {\underset{(\approx \Omega )}{{\mathcal M}_{+1}^p (\Omega )}} } \subset \underset{{\mbox{ $C^*$-混合状態}}}{\underset{\mbox{ (probability measure)}}{{{\mathcal M}_{+1} (\Omega )} }}\subset & {\mathcal M}(\Omega ) &&&& \\ & \Big\uparrow \mbox{ dual} &&&& \\ & \fbox{$ C_0(\Omega ) $} & \xrightarrow[\underset{\mbox{ weak-closure}}{\mbox{ subalgebra}}]{\subseteq} & \fbox{$L^\infty ( \Omega) $} & \xrightarrow[\mbox{ subalgebra}]{\subseteq} \fbox{${B(L^2( \Omega))}$} & \\ & && \;\;\; \Big\downarrow \;\mbox{ pre-dual} && \end{array} %\tag{2.39} \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \underset{{\mbox{ $W^*$-混合状態}}}{\underset{\mbox{ (probability density function)}}{{L^1_{+1}( \Omega, \nu )}}} \subset L^1( \Omega, \nu ) \end{align}
混合状態空間${\frak S}^m(C_0(\Omega)^*)$は, \begin{align} {\frak S}^m(C_0(\Omega)^*) = & \{ \rho \in {\mathcal M}(\Omega) \;:\; \rho \ge 0, ||\rho||_{{\mathcal M}(\Omega)}=1\} \nonumber \\ = & %{\frak S}^m(C_0(\Omega)) %= \{ \rho \in {\mathcal M}(\Omega) \;:\; \rho \mbox{は$\Omega$上の確率測度 }\} \nonumber \\ =: & {\mathcal M}_{+1} (\Omega ) \tag{2.40} \end{align} となる.


純粋状態空間${\frak S}^p(C_0(\Omega)^*)$は, \begin{align} {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*) & = \{ \rho=\delta_{\omega_0} \in {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*) \;:\; \delta_{\omega_0} \mbox{は点$\omega_0(\in \Omega)$での点測度}, \omega_0 \in \Omega\} \nonumber \\ & \equiv {\mathcal M}_{+1}^p(\Omega) %\\ %= %& %%{\frak S}^m(C_0(\Omega)) %%= %\{ \rho \in {\mathcal M}(\Omega) \;:\; \rho \mbox{は$\Omega$上の確率測度 %}\} \tag{2.41} \end{align}

となる. ここで, 点$\omega_0(\in \Omega)$での 点測度 $\delta_{\omega_0}\in {\mathcal M}(\Omega)$は次を満たす測度である.

\begin{align} \int_\Omega f(\omega ) \delta_{\omega_0} (d \omega ) = f(\omega_0) \quad( \forall f \in C_0(\Omega )) \end{align} したがって, \begin{align} {\mathcal M}_{+1}^p(\Omega)= {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*) \ni \delta_\omega \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \omega \in \Omega \tag{2.42} \end{align} この同一視の下に, \begin{align} {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*) = \Omega \end{align} と考える. また, \begin{align} L^1(\Omega, \nu )^*= L^\infty (\Omega, \nu ) \end{align} は,ルベーグ積分論の常識である. したがって, $W^*$-混合状態空間は \begin{align} L^1_{+1}(\Omega, \nu ) & = \{ f \in L^1(\Omega, \nu ) \; : \; f \ge 0, \;\; \int_\Omega f (\omega ) \nu (d \omega ) = 1 \} \nonumber \\ & = \mbox{確率密度関数全体の空間} \tag{2.43} \end{align} となる.

注意2.13[有限集合$\Omega$について: $C_0(\Omega)=L^\infty(\Omega,\nu)$, ${\mathcal M}(\Omega ) = L^1(\Omega, \nu )$ ]
$\Omega$を有限集合$\{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n \}$とする。 離散距離$d_D$ と個数測度 $\nu$、 すなわち、 \begin{align} \nu( D )= \sharp [D] (= \mbox{"$D$の要素の個数"} ) \end{align} とする。 このとき次は明らか: \begin{align} C_0(\Omega ) = \{ F : \Omega \to {\mathbb C} \;|\; \mbox{ $F$は$\Omega$上の複素数値関数} \} = L^\infty (\Omega, \nu ) \end{align} また、 \begin{align} & \rho \in {\mathcal M}_{+1}(\Omega ) \;\; \Longleftrightarrow \;\; \rho = \sum_{k=1}^n p_k \delta_{\omega_k } \;\;( \sum_{k=1}^n p_k=1, p_k \ge 0) \end{align} そして \begin{align} & f \in L^1_{+1}(\Omega, \nu ) \;\; \Longleftrightarrow \;\; \sum_{k=1}^n f(\omega_k ) =1. \;\; f(\omega_k )\ge 0 \end{align} したがって、次の同一視を得る: \begin{align} {\mathcal M}_{+1}(\Omega ) = L^1_{+1}(\Omega, \nu ) \quad (\mbox{ or, } {\mathcal M}(\Omega ) = L^1 (\Omega, \nu ) ) \end{align} 結局、 \begin{align} C_0(\Omega )= L^\infty(\Omega) = {\mathbb C}^n \qquad {\mathcal M}(\Omega )= L^1(\Omega) = {\mathbb C}^n \tag{2.44} \end{align} を得る。 ここに、 ノルム $\| \cdot \|_{C_0(\Omega )}$ は \begin{align} \| z \|_{C_0(\Omega )}= \max_{k=1,2,...,n} |z_k | \qquad \forall z= \left[\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] \in {\mathbb C}^n \tag{2.45} \end{align} で定まり、 ノルム $\| \cdot \|_{{\mathcal M}(\Omega )}$ は \begin{align} \| z \|_{{\mathcal M}(\Omega )}= \sum_{k=1}^n |z_k | \qquad \forall z= \left[\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] \in {\mathbb C}^n \tag{2.46} \end{align}