古典 力学において, 「観測量」という語は,通常は 状態空間$\Omega(\approx {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*))$上の実数値連続関数 (すなわち, 物理量 ) の意味で使われる. $W^*$-観測量は 物理量(測定理論では,システム量と呼ぶ) の 一般化である. 以下に,このことを説明しよう.




例 2.26 [システム量] $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$を古典系の基本構造とする. 実数値連続関数 ${\widetilde f}: \Omega \to {\mathbb R}$ ( 一般には, 実数値可測関数${\widetilde f}: \Omega \to {\mathbb R}^n$ でよい ) を,$\Omega$上の システム量 と呼ぶ. 基本代数 ${L^\infty ( \Omega, \nu )}$ 内の 射影観測量 ${\mathsf O}=({\mathbb R}, {\cal B}_{\mathbb R} , F)$ を次のように定義する: \begin{align*} [F(\Xi)] (\omega) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \omega \in {\widetilde f}^{-1}(\Xi) \; \mbox{のとき}\\ \\ 0 \quad \omega \notin {\widetilde f}^{-1}(\Xi) \; \mbox{のとき} \end{array} \right. \qquad ( \forall \Xi \in {\cal B}_{\mathbb R} %, % ) \end{align*} ここで, \begin{align} {\widetilde f} (\omega) = \lim_{N \to \infty } \sum\limits_{n=-N^2}^{N^2} \frac{n}{N} \left[F \bigm( [\frac{n}{N},\frac{n+1}{N} ) \bigm) \right](\omega) = \int_{\mathbb R} \lambda [F(d \lambda) ](\omega) \qquad \tag{2.59} \end{align} であることに注意して, 次の同一視: \begin{align} {{{\widetilde f}} \atop {\scriptsize \mbox{ ($\Omega$上のシステム量)}} } {{\longleftrightarrow}\atop{}} {{{\mathsf O}=({\mathbb R}, {\cal B}_{\mathbb R} , F)} \atop {\scriptsize \mbox{ ($L^\infty(\Omega,\nu)$内の射影観測量)}} } \tag{2.60} \end{align} を得る.この${\mathsf O}$ をシステム量${\widetilde f}$ の 観測量表示 と呼ぶ. したがって,

(a):同一視(2.60)の下で, システム量を 射影観測量と見なすことができる. すなわち, 観測量は, 実数値連続関数( すなわち,システム量) ${\widetilde f}: {\Omega } \to {\mathbb R}$ の一般化で、 システム量の拡張概念である.

例 2.27 [位置観測量,運動量観測量,エネルギー観測量]基本代数 $L^\infty (\Omega, \nu)$ 内で, ニュートン力学を考える. 簡単のために, 2次元空間を考えて, \begin{align*} \Omega = {\mathbb R}_q\times{\mathbb R}_p {{=}} \{ (q,p)=(位置, 運動量) \; | \; q,p\in{\mathbb R}\} \end{align*} とする。 次の物理量は基本的である. \begin{align*} & {\widetilde q}:\Omega \to {\mathbb R}, \quad &{\widetilde q} (q,p)=&q \quad (\forall (q,p) \in \Omega ) \\ & {\widetilde p}:\Omega \to {\mathbb R}, \quad &{\widetilde p}(q,p)=&p \quad (\forall (q,p) \in \Omega ) \\ & {\widetilde e}:\Omega \to {\mathbb R}, \quad & {\widetilde e} (q,p)=& { \mbox{[ポテンシャルエネルギー]}+ \mbox{[運動エネルギー]} } \\ & &\quad =& \underset{(ハミルトニアン{\cal H}の簡単な場合)}{U(q)+ \frac{p^2}{2m} } \qquad (\forall (q,p) \in \Omega ) \end{align*} ここに,$m$は粒子の質量 とする. これらの物理量は, (2.60) の対応の下に, それぞれ 位置{観測量,運動量観測量, エネルギー観測量 とも呼ばれる.
例 2.28[エルミート行列は射影観測量] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ を有限量子系の基本構造 $$ [B({\mathbb C}^n )) \subseteq B({\mathbb C}^n )) \subseteq B({\mathbb C}^n ))] $$

とする. エルミート行列$A (\in B({\mathbb C}^n ))$ は射影観測量と見なすことができることを示そう( 簡単のため,$n=3$の場合で書く). エルミート行列の対角化定理により,

\begin{align} A = U^* \left[\begin{array}{lll} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 \\ 0 & 0 & x_3 \end{array}\right] U \qquad \tag{2.61} \end{align}

と表現できる. ここに,$U$ $(\in B({\mathbb C}^3))$はユニタリ行列 (すなわち, $U^* U=U U^*=I=単位行列$), $x_k \in {\mathbb R} $は エルミート行列 $A$の固有値 である. ここで, $X=\{ x_1, x_2, x_3 \}$ として,

\begin{align} & F_A(\{x_1\}) = U^* \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] U, \; \quad F_A(\{x_2\}) = U^* \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] U, \; \\ & F_A(\{x_3\}) = U^* \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] U \; \quad F_A({\mathbb R} \setminus \{x_1, x_2, x_3 \}) = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \; \end{align}

として, $B({\mathbb C}^3)$内の 射影観測量${\mathsf O}_A =({\mathbb R },{\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A)$ を定めることができる. また, 逆に, 射影観測量${\mathsf O}_A =({\mathbb R },{\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A) $ から始めても, エルミート行列$A$ $(=\sum\limits_{i=1}^3 x_i F_A(\{x_i\}) \;)$を 構成できる. このようにして, エルミート行列$A$ を 射影観測量${\mathsf O}_A $ とを同一視, すなわち, 次の同一視: \begin{align} \underset {\scriptsize \mbox{ (エルミート行列)}}{{A}} \longleftrightarrow \underset{\scriptsize \mbox{ (射影観測量)}} {{\mathsf O}_A =({\mathbb R },{\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A) } \tag{2.62} \end{align} を得る






$A (\in B({\mathbb C}^n) )$ をエルミート行列とする。 \begin{align*} \rho= |\omega \rangle \langle \omega |, \quad \omega = \left[\begin{array}{l} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \vdots \\ \omega_n \end{array}\right] \in {\mathbb C}^n, \|\omega\|=1 \end{align*} として、 量子測定 ${\mathsf M}_{B({\mathbb C}^n)}({\mathsf O}_A,$ $S_{[\rho]})$ を考えよう。 ボルンの量子測定理論 (または, その言語化である「 言語ルール 1 ($\S$2.7)」 ) によれば、 次が言える:

$(\sharp):$ 量子測定 ${\mathsf M}_{B({\mathbb C}^n)}({\mathsf O}_A,$ $S_{[\rho]})$ によって、測定値 $x(\in {\mathbb R} )$ が得られる確率は、 ${\mbox{Tr}}(\rho \cdot F_A(\{x\}))$ ( = $\langle \omega , F_A(\{x\}) \omega \rangle$ ) で与えられる。

(ここで、トレース"${\mbox{Tr}}$", 定義2.9を見よ). したがって、 測定値の 期待値 は次で与えられる:

\begin{align} \int_{\mathbb R} x \langle \omega , F_A( dx ) \omega \rangle %= %\sum\limits_{x_i \in \{ x_1, x_2, x_3 \} } x_i \langle \omega , F_A(\{x_i \}) \omega \rangle = \langle \omega , A \omega \rangle \tag{2.63} \end{align}

また、 分散 $(\delta_A^\omega)^2$ は次で与えられる:

\begin{align} (\delta_A^\omega)^2 & = \int_{\mathbb R} (x - \langle \omega , A \omega \rangle)^2 \langle \omega , F_A( dx ) \omega \rangle = \langle A \omega , A \omega \rangle - |\langle \omega , A \omega \rangle|^2 \nonumber \\ & = || (A - \langle \omega , A \omega \rangle )\omega ||^2 \tag{2.64} \end{align}

例 2.29 [スペクトル分解]

$H$をヒルベルト空間とする.. 量子系の基本構造を考えよう

\begin{align} [{\mathcal C}(H ) \subseteq B(H ) \subseteq B(H )]. \end{align}

射影観測量 ${\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F)$を スペクトル分解 と呼ぶ. スペクトル分解定理の主張は,次の同値性((a)$\Leftrightarrow$(b))である.

(a): $T$はヒルベルト空間$H$上の(非有界)自己共役作用素
(b):射影観測量 ${\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F)$を用いて, \begin{align} T=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda F(d \lambda ) \tag{2.65} \end{align} と表せる.
「(非有界)自己共役作用素」の定義は,簡単でないので,本書では,上の(b)をその定義とする.したがって,同一視: \begin{align} \mbox{ 自己共役作用素 $T$ } \underset{\mbox{ 同一視}}{\longleftrightarrow} \mbox{ スペクトル分解 ${\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F)$ } \tag{2.66} \end{align}

の下に,自己共役作用素は射影観測量と見なせる. この 同一視(2.66)は, 古典版の 同一視 (2.60)の量子版 であることを再確認せよ.
上の議論は,以下のように一般化できる.次の同値性((c)$\Leftrightarrow$(d))が成立する.

(c):$T_1, T_2$はヒルベルト空間$H$上の(非有界)自己共役作用素で可換
(d):射影観測量 $\widehat{\mathsf O}=({\mathbb R}^2, {\mathcal B}_{{\mathbb R}^2}, G)$を用いて, \begin{align} & T_1=\int_{{\mathbb R}^2} \lambda_1 G(d \lambda_1 d \lambda_2 ), \qquad T_2=\int_{{\mathbb R}^2} \lambda_2 G(d \lambda_1 d \lambda_2 ) \\ & \tag{2.67} \end{align} と表せる.