測定理論は次のように定式化される. すなわち, \[ \underset{\mbox{ (=量子言語)}}{\fbox{純粋測定理論 (A)}} := \underbrace{ \underset{\mbox{ (\(\S\)2.7)}}{ \overset{ [\mbox{ (純粋) 言語ルール1}] }{\fbox{純粋測定}} } \quad + \quad \underset{\mbox{ ( \(\S \)10.3)}}{ \overset{ [{\mbox{ 言語ルール2}}] }{\fbox{因果関係}} } }_{\mbox{ 一種の呪文 (アプリオリな総合判断)}} + \underbrace{ \underset{\mbox{ (\(\S\)3.1) }} { \overset{ {}}{\fbox{言語的解釈}} } }_{\mbox{ 呪文の使い方のマニュアル}} \] となる. 以下に,測定に関する言語ルール1(測定) を説明する.なお,因果関係に関する言語ルール2は第10章 で述べる.

2.7.1 言語ルール1(測定)

いかなる システム(=測定対象) $S$も, ある基本構造 $[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ 内で定式化される. システム$S$の 状態 (正確には, 純粋状態 ) は, 状態空間 ${\frak S}^p({\mathcal A}^*)$内の元 $\rho$ で表現される. 観測量 (または, 測定器 と言った方がわかりやすいかもしれない) は ${\mathcal A}$ 内の$C^*$-観測量 ${\mathsf O}$ ${{=}}$ $(X , {\cal F} , F)$ $\Big($ または, $\overline{\mathcal A}$ 内の$W^*$-観測量 ${\mathsf O}$ ${{=}}$ $(X , {\cal F} , F)$ $\Big)$ で表現される. また,

$(A_1):$測定者が, 状態 $\rho$ をもつ 測定対象 に対して, $ \left[\begin{array}{ll} \mbox観測量 [{\mathsf O}] を \\ \mbox{測定器} [{\mathsf O}] で \end{array}\right] $ 測定 する
を 略して,
$(A_1):$ $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$ $\Big($ または, $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$ $\Big)$
と言う.

また, $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$ $\Big($ または, $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$ $\Big)$ により 測定値 $x$ $(\in X)$ を得る.

基本構造 $[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq {B(H)}]$内の $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$ $\Big($ or, $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$ $\Big)$を考える.

準備2.30二つの「測定($W^*$-測定と$C^*$-測定)」があって,混乱しがちなので,念の為に確認すると,
$\bullet$
  • $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \bigl({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F) , S_{[\rho] } $ と $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$
において、
$(A_2):$ $\left\{\begin{array}{ll} \mbox{ $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$} &\cdots \mbox{ ${\mathsf O}$ は $W^*$- 観測量 ,$\rho \in {\frak S}^p ({\mathcal A}^* )$ } \\ \mbox{ $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O} , S_{[\rho]} \big)$} &\cdots \mbox{ ${\mathsf O}$ は $C^*$- 観測量 ,$\rho \in {\frak S}^p ({\mathcal A}^* )$ } \end{array}\right. $
本書では,主に $W^*$-測定 に集中する.


次の言語ルール1は, 「ボルンの量子力学の確率解釈」 ( Born, M. Z. Phys. (37) pp.863--867 (1926)) の言語化(=ことわざ化)である. \begin{align} \overset{\mbox{ (ボルンの発見した物理法則)}}{ \underset{\mbox{ (物理学)}}{ {\fbox{量子力学 (ボルンの量子測定)}} } } \xrightarrow[\mbox{言語化(ことわざ化)}]{} \overset{\mbox{ (一種の呪文)}}{ \underset{\mbox{ (形而上学, 言語)}}{ {\fbox{測定理論(言語ルール1)}} } } \end{align}
  • ことわざ化すると、適用範囲が飛躍的に拡大する:たとえば、





$\Large{\mbox{猿が}} \left\{\begin{array}{ll} \Large{\mbox{弘法大師}} \\ \small{\mbox{(弘法も筆の誤り)}} \\ \\ \Large{\mbox{河童}} \\ \small{\mbox{(河童の川流れ)}} \\ \\ \cdots \end{array}\right\} \mbox{にもなる} $



言語ルール1(測定) 純粋系${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{}, S_{[\rho] }\big)$
  • ($B_1$):言語ルール1(測定) 純粋型 (この2.7節までの準備で読めるはず)
あらゆるシステムはある基本構造 $[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A}]_{B(H)}$内で定式化できる. $[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A}]_{B(H)}$ 内で定式化された$W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$ $\Big($ または, $C^*$-測定} ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$ $\Big)$ を 考えよう.
このとき, $W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \bigl({\mathsf O} , S_{[\rho] } \bigl)$ $\Big($ または, $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F), S_{[\rho] } \big)$ $\Big)$ により得られる 測定値$ x$ $(\in X )$ が, $ \Xi $ $(\in {\cal F})$ に属する 確率 は, (もし$F(\Xi)$が$\rho$で本質的連続ならば) $\rho( F(\Xi))$ $(\equiv _{{{\mathcal A}^*}}(\rho, F(\Xi) )_{\overline{\mathcal A}} )$ で与えられる
$\fbox{注釈2.4}$ 上記の言語ルール 1 の源流は ボルン(1926)による. "確率”に関しては、いろいろな意見があるかもしれない。たとえば、アインシュタインはボルンに以下のような手紙を送っている (1926):
(A2): 量子力学にはとても尊敬の念を抱いています。しかし内なる声が私に、その理論はまだ完璧ではないと言っています。量子力学はとても有益なものではありますが、神の秘密にはほとんど迫っていません。少なくとも私には、 神はサイコロを振らない という確信があるのです
量子言語の立場からは、ボルンもアインシュタインも正しいのだと思う。結局、 言語的科学観(「言葉が先,世界が後」の精神)は, 実在的科学観(「世界が先,言葉が後」の精神) \begin{align*} \overset{\mbox{(「世界が先,言葉が後」の精神) }}{ \underset{\mbox{(アインシュタイン)}}{\fbox{$\mbox{実在的科学観}$}}} \quad \underset{\mbox{v.s.}}{\longleftrightarrow} \quad \overset{\mbox{(「言語が先,世界が後」の精神) }}{ \underset{\mbox{(ボーア、ボルン)}}{\fbox{$\mbox{言語的科学観}$}}} \end{align*} と思えばよいからである。言語的科学観ならば、「神の秘密」に迫る必要はなくて、 確率は形而上学的概念なのだから、
  • 黙って、確率計算していればよい
からである。

ボーア=アインシュタイン論争は、20世紀の科学の華である。 結局、「敗者はアインシュタイン」という印象だけが残ってしまったが、 アインシュタインが負けたのは、「量子言語の言語的科学観による量子力学」であると考える。 アインシュタインが勝負したかったはずの 「実在的科学観による量子力学」は未完であって、まだ決着が付いたわけではない。

それにしても、
  • 「確率」が形而上学的概念である
ことを当然のように直感したアインシュタインは、どこまで天才なのだろうか?
フォン・ノイマンやコルモゴロフには、このような泥臭い議論をスルーする器用さがあったが、 アインシュタインのこだわりは徹底している。
サプリ さて、「アインシュタインは量子力学の何が気に入らなかったのか?」であるが、常識的には、
$\bullet$ 非局所性(=遠隔作用=超光速)
であるが、本書的には
$\bullet$ 測定(とか、確率)が形而上学的概念であること
となる。
量子力学は、[測定]+[因果関係]の形をもつが、 すなわち、[測定(言語的;人為的)]+[因果関係(実在的;物理的)]となって、不自然な接続となる。 量子力学の解釈問題とは、
  • 「測定(人為的)と因果関係(物理的)」を如何に滑らかに接続させるか?
とみることもできる。 この文脈では、二つの方法があって、
(a) 「測定(物理的)と因果関係(物理的)」と見る方法
(b)「測定(人為的)と因果関係(人為的)」と見る方法
である。 大抵の提案は(a)であるが、 量子言語は(b)の方法である。
2.7.2:簡単な例

次の例は,例1.2とまったく同じものを, 言語ルール1 の下に 書いたに過ぎない.

例 2.31[コップの水の冷・熱の測定(例1.2の続き)]

古典系の基本構造: \begin{align} \mbox{ $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$ } \end{align}

を考えよう.ここで, $\Omega=閉区間[0,100](\subset {\mathbb R})$として, 可換$C^:$代数${\mathcal A}=C_0(\Omega)$と 可換$W^:$代数$\overline{\mathcal A}=L^\infty (\Omega, \nu)$ を考える. 状態空間 ${\frak S}^p(C_0(\Omega)^*)$ は

\begin{align} {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*)=\{ \delta_\omega \in {\mathcal M}(\Omega) \;|\; \omega \in \Omega \} \approx \Omega =[0,100] \end{align}

となる. 測定値空間$X=\{冷, 熱\}$として, 冷熱-測定器 ${\mathsf O}_{ch}= (X , 2^X, F_{ch} )$ in $L^\infty ( \Omega )$ を以下のように定義する.

\begin{align} & [F_{ch}(\emptyset )](\omega ) = 0, \quad && [F_{ch}(X )](\omega ) = 1 \\ & [F_{ch}(\{c\})](\omega ) = f_{c} (\omega ), && [F_{ch}(\{h\})](\omega ) = f_{h} (\omega ) \end{align}

よって、t測定${\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega )} ( {\mathsf O}_{ch}, S_{[\delta_\omega]} )$ $($ 略して, ${\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega )} ( {\mathsf O}_{ch}, S_{[{\omega}]} )$を得る. したがって, たとえば, $\omega=55$°Cとおいて、言語ルール1 ($\S$2.7)の言葉遣いで、 次の翻訳を得る。

(a): 測定$\left.\begin{array}{ll}{\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega )} ( {\mathsf O}_{ch}, S_{[ \omega(=55)]} ) \end{array}\right.$によって得られる測定値 $x(\in X {{=}} \{c, h\})$ が $ \left[\begin{array}{ll} \emptyset \\ \{ \mbox{c}\} \\ \{ {h} \} \\ \{ {c} ,{h}\} \end{array}\right] $ に属する確率は、 $ \left[\begin{array}{ll} [F_{ch}( \emptyset )](55)= 0 \\ [F_{ch}( \{ { c} \} )](55)= 0.25 \\ [F_{ch}( \{ { h} \} )](55)= 0.75 \\ [F_{ch}( \{ { c} , { h} \} )](55)= 1 \end{array}\right] $ である。