目次:

3.2.1 テンソルヒルベルト空間 (i.e., ヒルベルト空間のテンソル積)


何度も繰り返すが、　言語的解釈 ($\S$3.1)は、 \begin{align} \mbox{ "測定は一回だけ"} \end{align}

と主張する。 これから、 "一つの測定対象"(="一つの状態")が導出される. すなわち,

  • 「複数の状態は、一つにまとめて議論よ」
である。　これは"テンソル作用素代数"で実現される. すなわち,

$(A):$ "複数の状態" $\xrightarrow[\mbox{ by テンソル作用素代数}]{\mbox{複数を一つにまとめる}}$ "一つの状態"

さて, テンソル作用素代数を導入しよう. $H,K$をヒルベルト空間とする. このとき, 　テンソルヒルベルト空間$H \otimes K$を以下のように定義しよう.


$\{ e_m \; | \; m \in {\mathbb N}\equiv \{1,2, \ldots \} \}$を$H$内の完全正規直交系(CONS), $\{ f_n \; | \; n \in {\mathbb N}\equiv \{1,2, \ldots \} \}$を$K$内の完全正規直交系(CONS)とする. 各$(m,n) \in {\mathbb N}^2$に対して, 「記号$e_m \otimes f_n$」を考えて、これらの線形結合からなる次の空間を構成する：

\begin{align} & H \otimes K = \Big\{ g=\sum_{(m,n) \in {\mathbb N}^2} \alpha_{m,n}e_m \otimes f_n \; \Big| \; ||g||_{H \otimes K} \equiv [\sum_{(m,n) \in {\mathbb N}^2} |\alpha_{m,m}|^2]^{1/2} < \infty \Big\} & \\ \tag{3.4} \end{align} また, 内積$\langle \cdot , \cdot \rangle_{H \otimes K} $は次のように定める。 \begin{align} \langle e_{m_1} \otimes f_{n_1} , e_{m_2} \otimes f_{n_2} \rangle_{H \otimes K} & \equiv \langle e_{m_1} , e_{m_2} \rangle_{H } \cdot \langle f_{n_1} , f_{n_2} \rangle_{ K} \nonumber \\ & = \left\{\begin{array}{ll} 1 \quad & ({m_1} , {n_1}) =({m_2} , {n_2}) \\ 0 \quad & ({m_1} , {n_1}) \not=({m_2} , {n_2}) \end{array}\right. \tag{3.5} \end{align} よって、
$(B):$ テンソルヒルベルト空間${H \otimes K}$は, 完全正規直交系$\{ e_m \otimes f_n \; | \; (m,n) \in {\mathbb N}^2 \}$を持つヒルベルト空間である.

たとえば, 各$e=\sum_{m=1}^\infty \alpha_m e_m \in H$と$f=\sum_{n=1}^\infty \beta_n f_m \in H$に対して, テンソル$e \otimes f$は次のように定まる。

\begin{align} e \otimes f = \sum_{(m,n) \in {\mathbb N}^2} \alpha_{m} \beta_n (e_m \otimes f_n) \end{align}

テンソルヒルベルト空間$H \otimes K$には,完全正規直交系$\{ e_m \otimes f_n \; | \; (m,n) \in {\mathbb N}^2 \}$が定まっているのだから (同じことで, 内積 $\langle \cdot , \cdot \rangle_{H \otimes K}$が定まっているのだから), $\widehat{u} \in H \otimes K$のノルム$|| \widehat{u}||_{H \otimes K}$は,

\begin{align*} || \widehat{u}||_{H \otimes K} = | \langle \widehat{u} , \widehat{u} \rangle_{H \otimes K}|^{1/2} \end{align*} で定まる

また, テンソルノルム$|| \widehat{u}||_{H \otimes K}$ $(\widehat{u} \in H \otimes K)$は

\begin{align} || \widehat{u}||_{H \otimes K} = | \langle \widehat{u} , \widehat{u} \rangle_{H \otimes K}|^{1/2} \end{align} で定まる。

例 3.2[簡単な例: テンソルヒルベルト空間 ${\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^3$]

2次元ヒルベルト空間$H={\mathbb C}^2$ と 3次元ヒルベルト空間$K={\mathbb C}^3$ のテンソルヒルベルト空間 $H \otimes K = {\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^3$ を考えよう. $H$の完全正規直交系$\{e_1. e_2 \}$を次のように定める.

\begin{align} e_1 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad e_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{align}

また, $K$の完全正規直交系$\{f_1. f_2, f_3 \}$を次のように定める.

\begin{align} f_1 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \quad f_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad f_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{align}

したがって, テンソルヒルベルト空間 $H \otimes K = {\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^3$ の完全正規直交系は,

\begin{align} & e_1 \otimes f_1 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \;\; e_1 \otimes f_2 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], e_1 \otimes f_3 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \\ & e_2 \otimes f_1 = \left[\begin{array} 0 \\ 1 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \;\; e_2 \otimes f_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], e_2 \otimes f_3 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right] \otimes \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{align} 完全正規直交系が6個のベクトルから構成されているので, \begin{align} H \otimes K = {\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^3= {\mathbb C}^6 \end{align}

と考えてよい. そうならば, テンソルヒルベルト空間 $H \otimes K = {\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^3$内の完全正規直交系$\{ e_i \otimes f_j \;|\; i=1,2,3, \;\; j=1,2 \}$を ${\mathbb C}^6$内の完全直交系$\{ g_k \;\;|\; k-1,2,...,6 \}$とみて, 次のように表現してもよい.

\begin{align} & g_1=e_1 \otimes f_1 = \left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \;\; g_2=e_1 \otimes f_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], g_3=e_1 \otimes f_3 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \\ & g_4=e_2 \otimes f_1 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \;\; g_5=e_2 \otimes f_2 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], g_6=e_2 \otimes f_3 = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{align} 上の例 3.2は以下のように一般化できる.
定理　3.3[有限テンソルヒルベルト空間] \begin{align} {\mathbb C}^{m_1} \otimes {\mathbb C}^{m_2} \otimes \cdots \otimes \otimes {\mathbb C}^{m_n}= {\mathbb C}^{\sum_{k=1}^n m_k} \tag{3.6} \end{align} 定理 3.4[具体的なテンソルヒルベルト空間] \begin{align} L^2(\Omega_1, \nu_1 ) \otimes L^2(\Omega_2, \nu_2 ) = L^2(\Omega_1 \times \Omega_2 , \nu_1 \otimes \nu_2 ) \tag{3.7} \end{align} ここに, $\nu_1 \otimes \nu_2$は直積測度.

定義　3.5　[無限テンソルヒルベルト空間] 無限個のヒルベルト空間$H_1, H_2,...,H_ k,...$のテンソルヒルベルト空間 $\bigotimes_{k=1}^\infty H_k$も同様に定義できる. 各$k( \in {\mathbb N})$に対して,ヒルベルト空間$H_k$の完全正規直交系$\{{e_k^j}\}_{j=1}^\infty$を定める. 各写像$b: {\mathbb N}\to {\mathbb N}$に対して,記号： \begin{align*} \bigotimes_{k=1}^\infty e_k^{b(k)} =e_1^{b(1)} \otimes e_2^{b(2)} \otimes e_3^{b(3)} \otimes \cdots \end{align*} を定めて, \begin{align} \{ \bigotimes_{k=1}^\infty e_k^{b(k)} \;|\; b: {\mathbb N}\to {\mathbb N} \mbox{は写像} \} \tag{3.8} \end{align} を得る.　これを完全正規直交系とするヒルベルト空間をテンソルヒルベルト空間 $\bigotimes_{k=1}^\infty H_k$と定義する.

3.2.2: テンソル基本構造

有界線形作用素$F \in B(H), G \in B(K)$に対して, このテンソル作用素$F \otimes G$ $\in B( H \otimes K )$は, 次のように定義できる.

\begin{align} (F \otimes G) (e \otimes f ) =F e \otimes G f \quad (\forall e \in H, f \in K) \end{align}

定義3.6 [テンソル$C^*$-代数とテンソル$W^*$-代数] 二つ基本構造 $[{\mathcal A}_1\subseteq \overline{{\mathcal A}_1}\subseteq B(H_1)]$ と $[{\mathcal A}_2\subseteq \overline{{\mathcal A}_2}\subseteq B(H_2)]$ を考える.

[I]: 次の条件： \begin{align*} \{F \otimes G\; (\in B( H_1 \otimes H_2 )) \; |\; F \in {\mathcal A}_1, \; G \in {\mathcal A}_2\} \subseteq {\widehat{\mathcal A}} \subseteq B( H_1 \otimes H_2 ) \end{align*} を満たす$C^*$代数${\widehat{\mathcal A}} $の中で最小の$C^*$代数を "${\mathcal A}_1$ と ${\mathcal A}_2$ のテンソル$C^*$代数"と呼び, ${\mathcal A}_1 \otimes {\mathcal A}_2$ と記す.

[II]: 次の条件： \begin{align*} \{F \otimes G\; (\in B( H_1 \otimes H_2 )) \; |\; F \in \overline{\mathcal A}_1, \; G \in \overline{\mathcal A}_2\} \subseteq {\widetilde{\mathcal A}} \subseteq B( H_1 \otimes H_2 ) \end{align*} を満たす$W^*$代数${\widehat{\mathcal A}} $の中で最小の$W^*$代数を "$\overline{\mathcal A}_1$ と $\overline{\mathcal A}_2$ のテンソル$W^*$代数"と呼び, $\overline{\mathcal A}_1 \otimes \overline{\mathcal A}_2$ と記す.

定理 3.7 [テンソル基本構造] [I]: 二つ基本構造 $[{\mathcal A}_1\subseteq {\overline{\mathcal A}_1}\subseteq B(H_1)]$ と $[{\mathcal A}_2\subseteq {\overline{\mathcal A}_2}\subseteq B(H_2)]$のテンソル基本構造は $[{\mathcal A}_1 \otimes {\mathcal A}_2\subseteq {\overline{\mathcal A}_1 \otimes \overline{\mathcal A}_2}\subseteq B(H_1 \otimes H_2)]$となる.　すなわち, \begin{align*} & [{\mathcal A}_1\subseteq {\overline{\mathcal A}_1}\subseteq B(H_1)] \otimes [{\mathcal A}_2\subseteq {\overline{\mathcal A}_2}\subseteq B(H_2)] \\ = & [{\mathcal A}_1 \otimes {\mathcal A}_2\subseteq {\overline{\mathcal A}_1 \otimes \overline{\mathcal A}_2}\subseteq B(H_1 \otimes H_2)] \end{align*} [II]: 量子系の基本構造 $[{\mathcal C}(H_1)\subseteq B(H_1)\subseteq B(H_1)]$ と $[{\mathcal C}(H_2)\subseteq B(H_2)\subseteq B(H_2)]$ のテンソル基本構造は $[{\mathcal C}(H_1\otimes H_2 )\subseteq B(H_1 \otimes H_2)\subseteq B(H_1 \otimes H_2)]$ となる.　すなわち, \begin{align*} & [{\mathcal C}(H_1)\subseteq B(H_1)\subseteq B(H_1)] \otimes [{\mathcal C}(H_2)\subseteq B(H_2)\subseteq B(H_2)] \\ = & \textcolor{red}{ [{\mathcal C}(H_1\otimes H_2 )\subseteq B(H_1 \otimes H_2)\subseteq B(H_1 \otimes H_2)] } \end{align*} [III]: 古典系系の基本構造 $[C_0(\Omega_1 ) \subseteq L^\infty (\Omega_1, \nu_1 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_1, \nu_1 ))]$ と $[C_0(\Omega_2 ) \subseteq L^\infty (\Omega_2, \nu_2 )\subseteq B(L^2 (\Omega_2\, \nu_2 ))]$ のテンソル基本構造は \begin{align*} [C_0(\Omega_1 \times \Omega_2 )\subseteq L^\infty (\Omega_1 \times \Omega_2 , \nu_1 \otimes \nu_2 )\subseteq B(L^2 (\Omega_1 \times \Omega_2 , \nu_1 \otimes \nu_2 ))] \end{align*} となる.　すなわち, \begin{align*} & [C_0( \Omega_1 ) \subseteq L^\infty (\Omega_1 \subseteq \nu_1 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_1 , \nu_1 ))] \otimes [C_0(\Omega_2 ) \subseteq L^\infty (\Omega_2 \subseteq \nu_2 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_2 , \nu_2 ))] \\ = & \textcolor{red}{ [C_0(\Omega_1 \times \Omega_2 ) \subseteq L^\infty (\Omega_1 \times \Omega_2 , \nu_1 \otimes \nu_2 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_1 \times \Omega_2, \nu_1 \otimes \nu_2 ))] } \end{align*}

定理 3.8 $\bigotimes_{k=1}^\infty B(H_k)$ $( \subseteq B( \bigotimes_{k=1}^\infty H_k) )$は,次を満たす最小の$C^*$代数と定義する. \begin{align*} F_1 \otimes F_2 \otimes \cdots \otimes F_n \otimes I \otimes I \otimes \cdots \in B( \otimes_{k=1}^\infty H_k) \\ \;\; (\forall F_k \in B(H_k) ,\;k=1,2,...,n, n=1,2,...) \end{align*} このとき, \begin{align} \bigotimes_{k=1}^\infty B(H_k) = B(\otimes_{k=1}^\infty H_k) \tag{3.9} \end{align} 定理 3.9 次が言える. \begin{align*} \mbox{(i)}:\quad & \rho_k \in {\mathcal A}_k^* \Longrightarrow \bigotimes_{k=1}^n \rho_k \in ( \bigotimes_{k=1}^n {\mathcal A}_k)^* \\ \mbox{(ii)}:\quad & \rho_k \in {\frak S}^m({\mathcal A}_k^*) \Longrightarrow \bigotimes_{k=1}^n \rho_k \in {\frak S}^m(( \bigotimes_{k=1}^n {\mathcal A}_k)^*) \\ \mbox{(iii)}:\quad & \rho_k \in {\frak S}^p({\mathcal A}_k^*) \Longrightarrow \bigotimes_{k=1}^n \rho_k \in {\frak S}^p(( \bigotimes_{k=1}^n {\mathcal A}_k)^*) \end{align*}