例2.31 (in $\S$2.7) と 例2.32 (in $\S$2.8) を念頭に置いて, たとえば，次のような「測定」を 考えよう：

• "測定は一回だけ" $\Longrightarrow$"観測量は一つだけ"

定義3.11[直積可測空間] 各 $k =1,2,\ldots,n$ に対して， 可測空間 $(X_k , $ ${\cal F}_k )$を 考える． $X_k$ $(k=1,2,\ldots,n )$ の 直積空間 ${{{\times}}}_{k=1}^n X_k$ を \begin{align*} {{{\times}}}_{k=1}^n X_k = \{ (x_1, x_2,\ldots, x_n ) \;|\; x_k \in X_k \;\; (k=1,2,\ldots,n )\} \end{align*} によって定める． 同様に， $\Xi_k ( \in {\cal F}_k )$ $(k=1,2,\ldots,n )$ の 直積 ${{{\times}}}_{k=1}^n \Xi_k$ を \begin{align*} {{{\times}}}_{k=1}^n \Xi_k = \{ (x_1, x_2,\ldots, x_n ) \;|\; x_k \in \Xi_k \;\; (k=1,2,\ldots,n )\} \end{align*} で定義する． 更に， 直積空間 ${{{\times}}}_{k=1}^n X_k$ 内の$\sigma$-集合体 $\boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k$ を

と定めて，これを 直積集合体 と呼び， $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k , \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k)$ を 直積可測空間 と呼ぶ． $(X,{\cal F})=(X_k,{\cal F}_k)$ $(k=1,2,\ldots,n)$ のとき， 直積空間 ${{{\times}}}_{k=1}^n X_k$ を $X^n$ と記し， 直積可測空間 $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k)$ を$(X^n,{\cal F}^n)$ と書く．

定義3.12 [同時観測量, 同時測定] 基本構造を$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ として, 各 $k =1,2,\ldots,n$ に対して， 基本代数$\overline{\mathcal A}$ 内の 観測量${\mathsf O}_k$ $=$ $(X_k , $ ${\cal F}_k , $ $F_k{})$ 考える． $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k , \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k)$ を直積可測空間とする． さて, $\overline{\mathcal A}$ 内の観測量 $\widehat{\mathsf O}$ $=$ $({{{\times}}}_{k\in K } X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , $ $\widehat{F}{})$ は次を満たすとする: \begin{align} {\widehat F}(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_{n}{}) & = F_1 (\Xi_1{}) \cdot F_2 (\Xi_2{}) \cdots F_n (\Xi_{n}{}) \nonumber \\ & ( \forall \Xi_k \in {\cal F}_k \; (k=1,2,\ldots,n )) \label{eq3.11} \end{align} このとき， この観測量 $\widehat{\mathsf O}$ $=$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k , \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , \widehat{F}{})$ を， $\{{\mathsf O}_k\}_{k=1}^n$ の 同時観測量 と呼ぶ． $\widehat{\mathsf O}$ $=$ $ {{{\times}}}_{k=1}^n{\mathsf O}_k$， $\widehat{F}$ $=$ $ {{{\times}}}_{k=1}^n{F}_k$ とも記す．

また， 同時観測量$ {{{\times}}}_{k=1}^n{\mathsf O}_k$ の測定， すなわち， ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({{{\times}}}_{k=1}^n{\mathsf O}_k, S_{[\rho]})$ を 同時測定 と呼ぶ． もちろん、

• 同時観測量 ${{{\times}}}_{k=1}^n {\mathsf O}_k$の存在は一般には保証されていない.

しかし, $\overline{\mathcal A}$が可換$W^*$代数ならば (すなわち, $\overline{\mathcal A}=L^\infty (\Omega)$ならば ), 存在する.

解答 3.13 [問題3.10の解答] 閉区間$\Omega = [0,100]$ を状態空間とする． ここで， ${\mathcal A}$内の2つの観測量， すなわち， 例2.31の 冷熱-観測量 ${\mathsf O}_{冷熱}= (X {{=}} \{ 冷 , 熱 \}, 2^X, F_{冷熱} )$ と 例2.32の 約-観測量 ${\mathsf O}_{約}= (Y( {{=}} {\mathbb N}_{10}^{100}) , 2^Y, G_{約} )$ を考える． この同時観測量 ${\mathsf O}_{冷熱} \times {\mathsf O}_{約}$ $=$ $(\{ 冷 , 熱 \}\times {\mathbb N}_{10}^{100}, 2^{\{ 冷 , 熱 \}\times {\mathbb N}_{10}^{100}}, F_{冷熱} \times G_{約} )$ を定めて， 同時測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }}({\mathsf O}_{冷熱} \times {\mathsf O}_{約}, S_{[\delta_\omega]})$ を得る． たとえば， $\omega=55$℃として，次を得る．

例 3.14[量子スピンの同時測定の非存在] 電子$P$のスピン状態は$\rho=|u \rangle \langle u|$ $\in$ ${\frak S}^p(B({\mathbb C}^2))$は, \begin{align*} u= \left[\begin{array}{ll} \alpha_1 \\ \alpha_2 \end{array}\right] \quad (\mbox{ここに, }|u|= (|\alpha_1|^2+ |\alpha_2|^2)^{1/2}=1) \end{align*} と表現できた. 電子$P$の$z$-軸方向のスピン観測量の測定 ${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z ), S_{[\rho]})$を考える. ここに, ${\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z )$ は次のように定まる: \begin{align*} F^z( \{ \uparrow \}) = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] , \quad F^z( \{ \downarrow \}) = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \end{align*} さらに, 電子$P$の$x$-軸方向のスピン観測量の測定 ${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x ), S_{[\rho]})$を考える. ここに, 「電子の$x$-軸方向のスピン」の観測量 ${\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x )$ は次のように定まる: \begin{align*} F^x( \{ \uparrow \}) = \left[\begin{array}{ll} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{array}\right] , \quad F^x( \{ \downarrow \}) = \left[\begin{array}{ll} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{array}\right] \end{align*} さて, 問題は次である.

実は, これは不可能である. なぜならば, 二つの観測量${\mathsf O}_z$と${\mathsf O}_x$が非可換だからである. たとえば,

電子$P$のスピン状態は$\rho=|u \rangle \langle u|$ $\in$ ${\frak S}^p(B({\mathbb C}^2))$は,

と表現できた. 電子$P$の$z$-軸方向のスピン観測量の測定 ${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z ), S_{[\rho]})$を考える. ここに, ${\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z )$ は次のように定まる:

さらに, 電子$P$の$x$-軸方向のスピン観測量の測定 ${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x ), S_{[\rho]})$を考える. ここに, 「電子の$x$-軸方向のスピン」の観測量 ${\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x )$ は次のように定まる:

測定　${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x ), S_{[\rho]})$を得る。
さて, 問題は次である.

実は, これは不可能である. なぜならば, 二つの観測量${\mathsf O}_z$と${\mathsf O}_x$が非可換だからである. たとえば,

定理　3.15　[精密測定とシステム量] $L^\infty(\Omega,\nu)$ 内の精密観測量 ${\mathsf O}^{(e)}_0=(X,{\cal F}, F^{\rm (exa)})$， すなわち， $(X,{\cal F}, F^{\rm (exa)})=(\Omega,{\cal B}_{\Omega}, \chi )$ を考える． また， システム量${\widetilde g}:\Omega \to {\mathbb R}$ の観測量表示を ${\mathsf O}_1=({\mathbb R},{\cal B}_{\mathbb R}, G)$ とする． 同時観測量 ${\mathsf O}^{(e)}_0 {{{\times}}} {\mathsf O}_1 $ の測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega, \nu)}( {\mathsf O}^{(e)}_0{{{\times}}} {\mathsf O}_1 , S_{[\delta_\omega]} )$を考え， その測定値を $(x,y)$ $(\in X \times {\mathbb R})$とする． このとき， 確率$1$で， $x=\omega$ かつ $y= {\widetilde g}(\omega)$ が成立する．

証明

$\omega (\in \Omega {{=}} X )$ を含む任意の開集合を $D_0 (\in {\cal B}_{\Omega} )$とする． また， ${\widetilde g}(\omega)$ を含む任意の開集合を$D_1 (\in {\cal B}_{\mathbb R})$ とする． ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega, \nu)}( {\mathsf O}^{(e)}_0 {{{\times}}} {\mathsf O}_1 , S_{[\delta_\omega]} )$ の測定値$(x,y)$が$D_0 \times D_1$ に含まれる確率は， $\chi_{_{D_0}}(\omega) \cdot \chi_{_{{\widetilde g}^{-1}(D_1)}} (\omega )=1$． よって， $D_0$と$D_1$ の任意性より，確率$1$で， $x=\omega$ かつ $y={\widetilde g}(\omega)$ を得る．