• パルメニデスを採用して、ヘラクレイトスを却下する

次の復習から始める：

復習3.16 [= 例 2.34　(in $\S$2.8)] 2つの壷 ${U}_1$， ${U}_2$ がある． 壷 ${U}_1$には8個の白球と2個の黒球， 壷 ${U}_2$には4個の白球と6個の黒球 が入っているとする.

ここで，この日常言語の文言(a)を測定理論 の 言葉遣いで記述することを考える． $\Omega = \{ {\omega}_1 , {\omega}_2 \}$ として, 離散距離空間$(\Omega, d_D)$を考えて, 可換$C^*$代数$C_0(\Omega)$を得る. したがって, \begin{align*} \mbox{ 古典系の基本構造 $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$ } \end{align*} を考えよう. 純粋状態空間は

更に， $L^\infty (\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F_{白黒}{})$ を次のように定義する：

このようにして， 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)} ({\mathsf O}_{白黒} , S_{ [{}{\delta_{\omega_2}}]}{})$ を得る． よって，上述の(a)は， 測定理論(=量子言語)の言葉で次のように翻訳できる:

解答
解答 $\;\;\;$ 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)} ({\mathsf O}_{白黒} , S_{ [{}{\delta_{\omega_2}}]}{})$ の同時測定${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)} ({\mathsf O}_{白黒} {{{\times}}} {\mathsf O}_{白黒} , S_{ [{}{\delta_{\omega_2}}]}{})$ を考えればよい. このとき， $L^\infty (\Omega{})$内の同時観測量 ${\mathsf O}_{白黒}^2 = ( \{ 白, 黒 \}\times \{ 白, 黒 \} , 2^{\{ 白, 黒 \} \times \{ 白, 黒 \} } ,$ $ F_{白黒}^2{}(= F_{白黒} \times F_{白黒} ) )$ は,つぎのように定まる. \begin{align*} & F_{白黒}^2(\{ (白, 白) \}{})(\omega_1{})= 0.64, & \quad & F^2(\{ (白,黒) \}{})(\omega_1{})= 0.16 \\ & F_{白黒}^2(\{ (黒,白) \}{})(\omega_1{})= 0.16, & \quad & F^2(\{ (黒,黒) \}{})(\omega_1{})= 0.4 \\ & F_{白黒}^2(\{ (白, 白) \}{})(\omega_2{})= 0.16, & \quad & F^2(\{ (白,黒) \}{})(\omega_2{})= 0.24 \\ & F_{白黒}^2(\{ (黒,白) \}{})(\omega_2{})= 0.24, & \quad & F^2(\{ (黒,黒) \}{})(\omega_2{})= 0.36 \end{align*} このようにして， 同時測定 ${\mathsf M}_{C(\Omega)} ({\mathsf O}_{白黒}^2, S_{ [{}{\omega}]}{})$ を得る． よって，上述の(a)は， 測定理論の言葉で次のように翻訳できる:

さて， 同時観測量 (定義3.12(in $\S$3.3) を思い出そう． 各 $k = 1,2,\ldots, n$ に対して， 基本代数${\mathcal A}$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_k$ ${{=}}$ $(X_k , $ ${\cal F}_k , $ $F_k{})$を 考えて， 同時観測量 $\widehat{\mathsf O}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , $ $\widehat{F}{})$ を次のように定義した： \begin{align*} {\widehat F}(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_n{}) = F_1 (\Xi_1{}) F_2 (\Xi_2{}) \cdots F_n (\Xi_n{}) \\ (\forall \Xi_k \in {\cal F}_k , \forall k =1,2,\ldots,n ) \end{align*}

次の定義は同時観測量 の 一般化である

定義　3.19 [擬積観測量(quasi-product observable ) ] 各 $k = 1,2,\ldots, n$ に対して， 基本代数${\mathcal A}$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_k$ ${{=}}$ $(X_k , $ ${\cal F}_k , $ $F_k{})$ 考える． 観測量 ${\mathsf O}_{12...n}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , $ ${F}_{12...n}{})$ は次を満たすとする: \begin{align} & {F}_{12...n}(X_1 \times \cdots \times X_{k-1} \times \Xi_k \times X_{k+1} \times \cdots \times X_n ) = F_k (\Xi_k{}) \label{eq3.14} \\ & \quad \qquad \qquad (\forall \Xi_k \in {\cal F}_k , \forall k =1,2,\ldots,n ) \nonumber \end{align} このとき， 観測量 ${\mathsf O}_{12...n}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , $ ${F}_{12...n}{})$ は $\{ {\mathsf O}_k \; | \;k=1,2,\ldots,n \}$ の 擬積観測量 と呼ばれ， 次のように記される： \begin{align*} \mathop{{{{\times}}}}^{qp}_{k=1,2,\ldots,n }{\mathsf O}_k = ({{{\times}}}_{k=1}^n X_k , \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k, {\mathop{{{{\times}}}}^{qp}_{k=1,2,\ldots,n} }F_k{}) \end{align*} もちろん， 同時観測量も 擬積観測量の一種で， したがって， 擬積観測量は，一般には 一意に決まらない． また,$C^*$代数${\mathcal A}$が可換でない場合は,存在も保証されているわけではない.

解答 3.20 [ 問題3.18の解答] $\;\;$ $L^\infty (\Omega{})$ 内の観測量 ${\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F{})$ の擬積観測量 $ {\mathsf O}_{白黒} \mathop{{{{\times}}}}^{qp} {\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \} \times \{ 白, 黒 \} , 2^{\{ 白, 黒 \} \times \{ 白, 黒 \} } ,$ $ F_{12}(= F_{白黒} \mathop{{{{\times}}}}^{qp} F_{白黒} ))$ を次のように定める： \begin{align*} & F_{12}(\{ (白, 白) \}{})(\omega_1{})= \frac{8 \times 7}{90}, & \quad & F_{12}(\{ (白,黒) \}{})(\omega_1{})= \frac{8 \times 2}{90} \\ & F_{12}(\{ (黒,白) \}{})(\omega_1{})= \frac{2 \times 8}{90}, & \quad & F_{12}(\{ (黒,黒) \}{})(\omega_1{})= \frac{2 \times 1}{90} \\ & F_{12}(\{ (白, 白) \}{})(\omega_2{})= \frac{4 \times 3}{90}, & \quad & F_{12}(\{ (白,黒) \}{})(\omega_2{})= \frac{4 \times 6}{90} \\ & F_{12}(\{ (黒,白) \}{})(\omega_2{})= \frac{6 \times 4}{90}, & \quad & F_{12}(\{ (黒,黒) \}{})(\omega_2{})= \frac{6 \times 5}{90} \end{align*} このようにして， 測定 ${\mathsf M}_{C(\Omega)} ({\mathsf O}_{12}, S_{ [{}{\omega}]}{})$ を得る． したがって,測定理論の言葉で次のように記述できる: