定義3.22 [ 並行観測量] 各 $k = 1,2,\ldots,n$ に対して， 基本構造 $[C_0(\Omega_k) \subseteq L^\infty (\Omega_k ) \subseteq B(L^2 (\Omega_k, \nu_k ))]$内の 観測量 ${\mathsf O}_k$ $=$ $(X_k , {\cal F}_k , F_k{})$ 考える． $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\mathcal F}_k)$ を直積可測空間とする． $ L^\infty ({{{\times}}}_{k=1}^n \Omega_k ) $ 内の 観測量 $\widetilde{\mathsf O}= ( {{{{\times}}}_{k=1}^n X_k }, \boxtimes_{k=1}^n {\cal F}_k , \widetilde{F}{})$ を次を満たすように定める: \begin{align} & [{\widetilde F}(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_n{})] (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n ) \nonumber \\ = & [F_1 (\Xi_1{})] (\omega_1) \otimes [F_2 (\Xi_2{})] (\omega_2) \otimes \cdots \otimes [F_n (\Xi_n{})] (\omega_n ) \label{eq3.15} \\ & \qquad \qquad \forall (\omega_1, \omega_2,\ldots, \omega_n )\in {\widetilde \Omega} = {{{\times}}}_{k=1}^n \Omega_k, \;\; \forall \Xi_k \in {\cal F}_k \; (k=1,2,\ldots,n ) \nonumber \end{align} このとき， この観測量$\widetilde{\mathsf O}$ $=$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k , \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , \widetilde{F}{})$ を， $\{{\mathsf O}_k \}_{k=1}^n$ の $ L^\infty ({{{\times}}}_{k=1}^n \Omega_k ) $ 内の {\bf 並行観測量} と呼び， ${\widetilde F}=\bigotimes_{k=1}^n F_k$， $\widetilde{\mathsf O}$ $=$ $\bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O}_k $ と記す． 並行観測量 ${\widetilde{\mathsf O}}=$ $\bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O}_k$ の測定， すなわち， ${\mathsf M}_{ L^\infty ({{{\times}}}_{k=1}^n \Omega_k ) } $ $ (\widetilde{\mathsf O}, $ $S_{ [ (\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n ) ] })$ を 並行測定 と呼び， ${\mathsf M}_{L^\infty ( \times_{k=1}^n \Omega_k)} ( \bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O}_k,$ $ S_{[ \bigotimes_{k=1}^n \delta_{\omega_k}]})$ とか $\bigotimes_{k=1}^n {\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_k )} ({\mathsf O}_k,$ $S_{[ \omega_k]})$ とも書く．

並行測定の意味は次のようである。

例 3.23 [問題3.21の解答] 2つの状態空間 $\Omega_1( \approx {\frak S}^p(C_0(\Omega_1)^*))$ と $\Omega_2( \approx {\frak S}^p(C_0(\Omega_2)^*))$ を 閉区間 $\Omega_1 = \Omega_2 = [0,100]$ と定める． $L^\infty(\Omega_1)$内の観測量を 例2.31 の 冷熱-観測量 ${\mathsf O}_{冷熱}=$ $ (X ({{=}} \{ 冷 , 熱 \}), 2^X,$ $ F_{冷熱} )$ として， $L^\infty(\Omega_2)$内の観測量を 例2.32の 約-観測量 ${\mathsf O}_{約}=$ $ (Y( {{=}} {\mathbb N}_{10}^{100}) ,$ $2^Y, G_{約} )$ とする． したがって， $L^\infty(\Omega_1 \times \Omega_2 )$内の 並行観測量 ${\mathsf O}_{冷熱} \otimes {\mathsf O}_{約}$ $=$ $(\{ 冷 , 熱 \}\times {\mathbb N}_{10}^{100},$ $ 2^{\{ 冷 , 熱 \}\times {\mathbb N}_{10}^{100}}, $ $ F_{冷熱} \otimes G_{約} )$ を定めて， 並行測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_1 \times \Omega_2 )}({\mathsf O}_{冷熱} \otimes {\mathsf O}_{約}, S_{[\delta_{(\omega_1,\omega_2)}]})$ を考える． たとえば， $(\omega_1,\omega_2 ) =(25, 55)$として，次を得る:

注意3.24また， たとえば， $(\omega_1,\omega_2 ) =(55, 55)$として，次を得る:

だからである． $\;\;\;\;$ これは， 例3.13と同じ結果であることに注意せよ (後出の注釈3.5参照)．

次の定理の証明は自明であるが，その意味は深い．

定理 3.25 [エルゴード性] 各$k=1,2, \cdots, n$に対して, ${\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega)} ( {\mathsf O}_k(:=(X_k,{\mathcal F}_k, F_k)), S_{[\delta_\omega]})$ はサンプル空間 $(X_k,{\mathcal F}_k, P_k^{\omega})$を持つとする. このとき, 同時測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega)} ({{{\times}}}_{k=1}^n {\mathsf O}_k, S_{[\delta_\omega]})$ のサンプル確率空間 と 並行測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega^n)}$ $ ( \bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O}_k , $ $S_{[ \otimes_{k=1}^n　\delta_{\omega}]})$ のサンプル確率空間 は等しくて,直積確率空間 \begin{align} ({{{\times}}}_{k=1}^n X_k,\boxtimes_{k=1}^n{\mathcal F}_k,\bigotimes_{k=1}^n P_k^{\omega}) \label{eq3.17} \end{align} となる.

証明 $\;\;$容易なので省く.

例 3.26 [量子スピンの並行測定] 電子$P$のスピン状態は$\rho=|u \rangle \langle u|$ $\in$ ${\frak S}^p(B({\mathbb C}^2))$は,

と表現できた. 電子$P$の$z$-軸方向のスピン観測量の測定 ${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z ), S_{[\rho]})$を考える. ここに, ${\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z )$ は次のように定まる:

測定${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_z =(X,2^X, F^z ), S_{[\rho_1]})$を得る.
電子$P_2$のスピン状態は$\rho_2=|u_2 \rangle \langle u_2|$ $\in$ ${\frak S}^p(B({\mathbb C}^2))$ は次としよう：

${\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x )$を$z$-軸方向のスピン観測量とする：

測定${\mathsf M_{B({\mathbb C}^2)}}({\mathsf O}_x =(X,2^X, F^x ), S_{[\rho_2]})$を得る。
よって、次の問題を得る。