4.1.1 コルモゴロフの拡張定理と言語的解釈

(コルモゴルフの)確率論は次の呪文からスタートする:

$(\sharp_1):$ 確率空間$(X, {\mathcal F}, P)$を考える。 このとき、 事象$\Xi ( \in {\mathcal F})$が起こる確率は、 $ P(\Xi)$ で与えられる
これからスタートして、試行錯誤の末、コルモゴロフは、「コルモゴロフの拡張定理」 を発見した。 ここで、「コルモゴロフの拡張定理」の精神とは、
$(\sharp_2):$ただ一つの確率空間しか許されない
であり、これは、言語的解釈 "測定は一回だけ"に対応する。 すなわち, \begin{align} \Large{ \overset{\mbox{(基本定理)}}{\underset{\mbox{ (確率空間は一つだけ)}} {\fbox{確率論}}} \overset{\mbox{ (対応)}}{\longleftrightarrow} \overset{\mbox{(言語的解釈)}}{ \underset{\mbox{(測定は一回だけ)}} {\fbox{量子言語}}} } \end{align} こうなると、
$(\sharp_3):$コルモゴロフは、 言語的解釈の発見者の一人で、パルメニデス(born around BC. 515)と同じこと、すなわち、
  • 多はない. 一しかない.
に気づいた
と考えたくなる。

本節では,これについて述べる.

${\widetilde \Lambda}$を任意の集合とする. 各$\lambda \in {\widetilde \Lambda} $ に対して, 集合 $X_\lambda $ を考える. 任意の$\Lambda_{1} \subseteq \Lambda_{2}( \subseteq {\widetilde \Lambda})$に対して, 自然な写像$ \pi_{\Lambda_{1},\Lambda_{2}}: \times_{\lambda\in\Lambda_{2}}X_{\lambda} \longrightarrow \times_{\lambda\in\Lambda_{1}}X_{\lambda} $ を次のように定める。

\begin{align} \times_{\lambda\in\Lambda_{2}}X_{\lambda} \ni (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda_2 } \mapsto (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda_1} \in \times_{\lambda\in\Lambda_{1}}X_{\lambda} \tag{4.1} \end{align}

特に、 $\pi_{\Lambda}=\pi_{\Lambda,{\widehat \Lambda}}$と置く. 測定理論版のコルモゴロフの拡張定理(=観測量・測定の存在定理)である。 これは言語的解釈 ($\S$3.1), i.e., "測定は一回だけ" との関連で最重要である

定理 4.1 [測定理論版のコルモゴロフの拡張定理(=観測量・測定の存在定理)] 基本構造 $$ [{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)] $$ を考える.${\widetilde \Lambda}$を任意の集合とする. 各$\lambda \in {\widetilde \Lambda} $ に対して, 可測空間 $(X_\lambda , {\cal F}_\lambda )$ を考える. ただし, $X_\lambda$ は可分完備距離空間, ${\cal F}_{\lambda}{}$は ボレル集合体 とする. 集合族 ${{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda})$ を $ {{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda}) {{=}} \{ \Lambda \subseteq {\widetilde \Lambda} \; | \; \Lambda ~\mbox{ は有限集合 } \} $と定める. $\overline{\mathcal A}$ 内の 観測量の族 $\bigl\{$ ${{\mathsf O}}_{\Lambda} {{=}}$ $($ ${{{\times}}}_{\lambda\in\Lambda}X_{\lambda}, $ $\boxtimes_{\lambda\in\Lambda}{\cal F}_{\lambda},$ $F_{\Lambda}$ $)$ $~|~$ $\Lambda\in{{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda})$ $\bigr\}$ は次の 一貫性条件 を満たすと仮定する:
$\quad$ $\Lambda_1 \subseteq \Lambda_2$ を満たす 任意の$\Lambda_1, \Lambda_2$ ($\in$ ${{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda})$)に対して, 次が成立する:


\begin{align} F_{\Lambda_2} ( \pi_{\Lambda_{1},\Lambda_{2}}^{-1}({\Xi}_{\Lambda_1}{}) ) = F_{\Lambda_1} ({\Xi}_{\Lambda_1} ) \quad (\forall {\Xi}_{\Lambda_1} \in \boxtimes_{\lambda\in\Lambda_1} {\cal F}_{\lambda}{}) %% \label{eq4.2} \end{align}

このとき, 次を満たす$\overline{\mathcal A}$ 内の観測量 ${\widehat{\mathsf O}}_{\widetilde{\Lambda}}$ ${{=}}$ $\bigl({{{\times}}}_{\lambda\in{\widetilde \Lambda}}X_{\lambda}, $ $\boxtimes_{\lambda\in{\widetilde \Lambda}} {\cal F}_{\lambda},$ ${\widehat F}_{\widetilde \Lambda} \bigr)$ が唯一存在する: \begin{align} {\widehat F}_{\widetilde \Lambda} \bigl( \pi_{\Lambda,{\widetilde \Lambda}}^{-1}({\Xi}_{\Lambda}{}) \bigr) = F_{\Lambda} \bigl({\Xi}_{\Lambda} \bigr) \quad (\forall {\Xi}_{\Lambda} \in \boxtimes_{\lambda\in\Lambda} {\cal F}_{\lambda},~ \forall\Lambda\in{{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda}){}) %%\t \label{eq4.3} \end{align} 証明 は次を見よ.
$(a):$ S. Ishikawa, "Mathematical Foundations of measurement theory,"Keio University Press Inc. 2006. ( download free)

系4.2 [無限同時観測量 ] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ を考える.${\widetilde \Lambda}$を任意の集合とする. 各$\lambda\in{\widetilde \Lambda}$に対して, $X_\lambda$ は可分完備距離空間, ${\cal F}_{\lambda}{}$は その ボレル{集合体}とする. 各$\lambda \in {\widetilde \Lambda} $ に対して, $ \overline{\mathcal A} $内の 観測量 ${\mathsf O}_\lambda$ ${{=}}$ $(X_\lambda , {\cal F}_\lambda , F_\lambda{})$ を考える. このとき,同時観測量 $\widehat{\mathsf O}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} X_\lambda , \boxtimes_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} {\cal F}_\lambda , $ $ {\widehat F} {{=}} {{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} F_\lambda {})$ が唯一存在する. すなわち,任意の有限集合$\Lambda_0 (\subseteq {\widetilde \Lambda} )$ に対して,次が成り立つ:

\begin{align} {\widehat F } \big( ({{{\times}}}_{\lambda \in \Lambda_0} \Xi_\lambda) \times ({{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}\setminus \Lambda_0} X_\lambda) \big) = {{{\times}}}_{\lambda \in \Lambda_0} F_\lambda (\Xi_\lambda{}) \qquad (\forall \Xi_\lambda \in {\cal F}_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda_0 ) \tag{4.4} \end{align}

証明.定理 4.1の簡単な系である。

注意4.3 [なぜコルモゴロフの拡張定理は基本的なのか?] 確率論という数学の中で,コルモゴロフの拡張定理は最も基本的である.しかし,
$\bullet$ なぜコルモゴロフの拡張定理は最も基本的なのか?
は愚問である.なぜならば,数学の中に「なぜ?」という問い掛けはないからで,結果論的な「使い出があるから」という理由しかないからである.しかし,測定理論の観点からは, 重要さの連鎖が次のように言える \begin{align} \overset{(言語的解釈)}{\fbox{測定は一回だけ}} \xrightarrow[必然]{{}} \overset{(測定理論のコルモゴロフの拡張定理4.1)}{\fbox{無限測定の存在保証}} \xrightarrow[必然]{{}} \overset{(確率論のコルモゴロフの拡張定理)}{\fbox{サンプル空間の存在保証}} \end{align} というように、 言語的コペンハーゲン解釈(測定は一回だけ)とコルモゴロフの拡張定理とに密接な関係があると思いたくなる。