第3章では,
一般基本構造$[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A}]_{B(H)}$を,分類(量子系と古典系)してそれに対応する
状態空間を考えた.すなわち,
測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} (\widehat{\mathsf O}=(X,{\mathcal F},{ F} ), S_{[\rho]})$のサンプル空間を
$(X,{\mathcal F}, P_\rho )$とする.
無限テンソル$W^*$代数
$\bigotimes_{k=1}^\infty \overline{\mathcal A}$内の無限並行観測量
$\widetilde{\mathsf O}$
$
(=\bigotimes_{k=1}^\infty
{\mathsf O}
)
$
$=(X^{\mathbb N} ,$
$ \boxtimes_{k=1}^\infty {\cal F} ,$
${\widetilde F}
({{=}} \bigotimes_{k=1}^\infty F ) )$
の存在はコルモゴロフの存在定理(系4.2系})で保証されている.
これを,具体的な（量子系の場合と古典系の場合）場合について,以下に見よう.
4.2.1: 無限並行測定$\bigotimes_{k=1}^\infty{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=(X,{\mathcal F},{ F} ), S_{[\rho]})$のサンプル空間
を議論した.
$(C):$
$\underset{状態空間[{\frak S}^p({\cal A}^*),{\frak S}^m({\cal A}^*),\overline{\frak S}^p(\overline{\cal A}_*)]}{一般基本構造[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A}]_{B(H)}}
\begin{cases}
\mbox{($C_1$):}
\underset{状態空間[{\frak S}^p({\mathcal Tr}(H)),{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))= \overline{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))]}{量子基本構造[ {\mathcal C}(H) \subseteq B(H)]_{B(H)}}
\\
\\
\\
\mbox{($C_2$):}
\underset{状態空間[\Omega, {\mathcal M}_{+1}(\Omega),L^\infty(\Omega, \nu )
]}{古典基本構造[ C_0(\Omega) \subseteq L^\infty(\Omega, \nu )]_{B(L^2(\Omega, \nu ))}}
\end{cases}
$
[I]:量子系の場合： 基本構造が $[ {\mathcal C}(\otimes_{k=1}^\infty H) \subseteq B(\otimes_{k=1}^\infty H)]_{ B(\otimes_{k=1}^\infty H)}$で,したがって,状態空間は, \begin{align} {\frak S}^p({\mathcal Tr}(\otimes_{k=1}^\infty H)) \subset {\frak S}^m({\mathcal Tr}(\otimes_{k=1}^\infty H))= \overline{\frak S}^m({\mathcal Tr}(\otimes_{k=1}^\infty H)) \tag{4.5} \end{align} となる. よって, ${\mathcal F} = {\mathcal F}_\rho $ $( \forall \rho \in {\frak S}^p({\mathcal Tr}( H)) )$ とできて, 無限並行測定 $ {\mathsf M}_{\bigotimes_{k=1}^\infty B(H)} (\otimes_{k=1}^\infty {\mathsf O}= (X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},$ $\otimes{k=1}^\infty { F} ),$ $ S_{[\bigotimes_{k=1}^\infty \rho]})$ のサンプル空間$(X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},$ $P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho})$ は, \begin{align} & P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho} (\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_n{} \times({{{\times}}}_{k=n+1}^\infty X)) = {{{\times}}}_{k=1}^n {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big( \rho, F(\Xi_k ) \Big){}_{B(H)} \tag{4.6} \\ & \quad ( \; \forall \Xi_k \in {\cal F}={\cal F}_\rho, (\; k=1,2,\ldots, n), n=1,2,3 \cdots ) \nonumber \end{align} で定めることができる.
[II] 古典系の場合： 状態空間$\Omega$をコンパクト化して,さらに, $\nu(\Omega)=1$としても一般性を失わないことに注意しよう. このとき,基本構造は \begin{align} [ C_0(\times_{k=1}^\infty \Omega ) \subseteq L^\infty (\times_{k=1}^\infty \Omega, \otimes_{k=1}^\infty \nu) \subseteq B( L^2 ( \times_{k=1}^\infty \Omega, \otimes_{k=1}^\infty \nu ) ) ] \tag{4.7} \end{align} となり,したがって,状態空間は, \begin{align} {\frak S}^p(C_0(\times_{k=1}^\infty \Omega)^*)(=\times_{k=1}^\infty \Omega) \subset {\mathcal M}_{+1} (\times_{k=1}^\infty \Omega), L^1_{+1} (\times_{k=1}^\infty \Omega, \otimes_{k=1}^\infty \nu) \tag{4.8} \end{align} となる. 仮定2.19 より, 無限並行測定 $ {\mathsf M}_{ B(\bigotimes_{k=1}^\infty H)} (\otimes_{k=1}^\infty {\mathsf O}= (X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},$ $\otimes_{k=1}^\infty { F} ),$ $ S_{[\bigotimes_{k=1}^\infty \rho]})$ のサンプル空間$(X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},$ $P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho})$ は, \begin{align} & P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho} (\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_n{} \times({{{\times}}}_{k=n+1}^\infty X)) = {{{\times}}}_{k=1}^n {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big( \rho, F(\Xi_k ) \Big){}_{B(H)} \tag{4.9} \\ & \quad ( \; \forall \Xi_k \in {\cal F}={\cal F}_\rho, (\; k=1,2,\ldots, n), n=1,2,3 \cdots ) \nonumber \end{align} で定めることができる.
[III]結論： したがって,仮定2.19の下に,
- いずれの場合も,サンプル空間$(X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty {\mathcal F},$ $P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho})$ を持つ
上をまとめて、次の定理 (大数の法則)を得る.
定理 4.5 [大数の法則]
測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=(X,{\mathcal F},{ F} ), S_{[\rho]})$のサンプル空間を $(X,{\mathcal F}, P_\rho )$とする. 無限テンソル$W^*$代数 $\bigotimes_{k=1}^\infty \overline{\mathcal A}$内の無限並行観測量 $\widehat{\mathsf O}$ $ (=\bigotimes_{k=1}^\infty {\mathsf O} ) $ $=(X^{\mathbb N} ,$ $ \boxtimes_{k=1}^\infty {\cal F} ,$ ${\widetilde F} ({{=}} \bigotimes_{k=1}^\infty F ) )$ の存在はコルモゴロフの存在定理(系4.2系})で保証されている. さて, 無限並行測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} (\widehat{\mathsf O}=(X,{\mathcal F},{ F} ), S_{[\rho]})$, すなわち, ${\mathsf M}_{\bigotimes_{k=1}^\infty \overline{\mathcal A}} (\otimes_{k=1}^\infty {\mathsf O}= (X^{{\mathbb N}},\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},\otimes_{k=1}^\infty { F} ),$ $ S_{[\bigotimes_{k=1}^\infty \rho]})$を考える. このとき,この測定のサンプル空間$(X^{{\mathbb N}},\boxtimes_{k=1}^\infty{\mathcal F},P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho})$は サンプル空間 $(X,{\mathcal F}, P_\rho )$の無限直積確率空間$(X^{{\mathbb N}},$ $\boxtimes_{k=1}^\infty {\mathcal F},$ ${\bigotimes_{k=1}^\infty P_\rho})$に等しい. さらに,
| $(A):$ | 任意の$f \in L^1( X, P_{\rho})$ に対して, \begin{align} & D_f=\Big\{ (x_1,x_2, \ldots ) \in X^{\mathbb N} \;|\; \lim_{n \to \infty } \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f({x_n})}{n} = E(f) \Big\} \tag{4.10} \\ & \qquad \mbox{ ( ここに, $E(f) = \int_X f(x) P_\rho ( dx )$ は$f$の期待値 ) } \nonumber \end{align} とすると,次が成立する. \begin{align} P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho} (D_f)=1 \tag{4.11} \end{align} |
注意4.6 [頻度確率] ここで,$f$が$\Xi(\in {\mathcal F} )$の定義関数の場合 ( すなわち, $f=\chi_{{}_{\Xi}}$ ) を考えよう. このとき,
\begin{align} & D_{\chi_{{}_{\Xi}}}=\Big\{ (x_1,x_2, \ldots ) \in X^{\mathbb N} \;|\; \lim_{n \to \infty } \frac{ \sharp [ \{ k \;|\; x_k \in \Xi, 1\le k \le n \} }{n} = P_\rho ( \Xi ) \Big\} \tag{4.13} \\ & \qquad \mbox{ (ここで, $\sharp[A]$は集合$A$の要素の個数) } \nonumber \end{align}と定めると,次の 大数の法則 が成立する.
\begin{align} P_{\bigotimes_{k=1}^\infty \rho} (D_{\chi_{{}_{\Xi}}})=1 \tag{4.14} \end{align} したがって,大数の法則は,| $(\sharp):$ | 言語ルール1(測定: $\S$2.7)の「確率」は,「頻度確率」と解釈できる |
物理学者は科学者の中では少数派であって、ほとんどの科学者が言語的科学観の傘下にある。 それにもかかわらず、言語的科学観内での業績はかなり過小評価されていることが多い。 ガリレオが教会から弾圧されたとしても、無視されたベルヌーイよりは幸運だったのかもしれない。
4.2.2: Mean,variance,unbiased variance
測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F), S_{[{}\rho{}] }{})$ のサンプル空間を $( {\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, P_\rho )$とする. すなわち,,測定値空間$X={\mathbb R}$とする. ここで,
\begin{align} &{\bf 平均}(\mu_{\mathsf O}^{\rho}):E[{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R} F), S_{[{}\rho{}] }{})] = \int_{\mathbb R} x P_\rho (dx)(=\mu) \tag{4.15} \\ &{\bf 分散}((\sigma_{\mathsf O}^{\rho})^2):\;\; V[{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R} F), S_{[{}\rho{}] }{})] = \int_{\mathbb R} (x- \mu )^2 P_\rho (dx) \tag{4.16} \end{align} と定める.さて, 並行測定 $\otimes_{k=1}^n {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[{}\rho{}] }{})$ によって,$(x_1, x_2, x_3,..., x_n ) (\in {\mathbb R}^n)$が得られたとしよう. ここで,
\begin{align*} {\bf 標本分布}(\nu_n):& \nu_n :=\frac{ \delta_{x_1}+\delta_{x_2}+ \cdots +\delta_{x_n}}{n} \\ {\bf 標本平均}(\overline{\mu}_n):&{\overline E}[\otimes_{k=1}^n{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[{}\rho{}] }{})] =\frac{ {x_1}+{x_2}+ \cdots +{x_n}}{n} (={\overline{\mu}}) \\ & =\int_{\mathbb R} x \nu_n ( dx ) \\ {\bf 標本分散}(s^2_n):&{\overline V}[\otimes_{k=1}^n{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[{}\rho{}] }{})] =\frac{(x_1 - \overline{ \mu})^2+(x_2 - \overline{ \mu})^2+ \cdot +(x_2 - \overline{ \mu})^2}{n} \\ & =\int_{\mathbb R} (x- {\overline \mu })^2 \nu_n ( dx ) \\ {\bf 不偏分散}(u^2_n):&{\overline U}[\otimes_{k=1}^n{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[{}\rho{}] }{})] =\frac{(x_1 - \overline{ \mu})^2+(x_2 - \overline{ \mu})^2+ \cdot +(x_2 - \overline{ \mu})^2}{n-1} \\ & =\frac{n}{n-1 }\int_{\mathbb R} (x- {\overline \mu })^2 \nu_n ( dx ) \end{align*}とする. これらと 大数の法則との関係( すなわち, 「$n \to \infty$」の場合 )は, 以下の通りである.
上の準備の下に、次の定理を得る：定理 4.7 [母平均、母分散,標本平均,標本分散] 無限並行測定 $\bigotimes_{k=1}^\infty {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F), S_{[{}\rho{}] }{})$の測定値を $(x_1, x_2, x_3, \cdots ) (\in {\mathbb R}^{\mathbb N})$ とする.このとき,大数の法則(定理4.5定理)から,確率1で,次が言える.
\begin{align} & (4.15)= {平均}(\mu_{\mathsf O}^{\rho})=\lim_{n \to \infty } \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} =:\overline{\mu}=標本平均 \\ & (4.16)= {分散}(\sigma_{\mathsf O}^{\rho})=\lim_{n \to \infty } \frac{(x_1-\mu_{\mathsf O}^{\rho})^2 + (x_2-\mu_{\mathsf O}^{\rho})^2 + \cdots + (x_n-\mu_{\mathsf O}^{\rho})^2 }{n} \nonumber \\ & \qquad \qquad = \lim_{n \to \infty } \frac{(x_1-\overline{\mu})^2 + (x_2-\overline{\mu})^2 + \cdots + (x_n-\overline{\mu})^2 }{n} =:標本分散 \end{align}例 4.8 [スペクトル分解] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ を量子系の基本構造 $[{\mathcal C}(H )) \subseteq B(H )) \subseteq B(H ))]$ とする. ヒルベルト空間$H$上の(非有界)自己共役作用素$A$のスペクトル分解 ${\mathsf O}_A=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A)$, すなわち,
\begin{align*} A= \int_{\mathbb R} \lambda F_A (d \lambda ) \end{align*}を$B(H)$内の射影観測量とする. つまり,同一視：
\begin{align} \mbox{ 自己共役作用素 $A$ } \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \mbox{ スペクトル分解${\mathsf O}_A=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A)$ } \nonumber \end{align}の下に,自己共役作用素$A$は射影観測量${\mathsf O}_A=({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, F_A)$と見なせる. 状態$\rho_u = |u \rangle \langle u | \in {\frak S}^p({\mathcal Tr}(H))$を固定する. このとき,
\begin{align} &{\bf 平均}(\mu_{{\mathsf O}_A}^{\rho_u}):E[{\mathsf M}_{B(H)} ({\mathsf O}_A , S_{[{}|u\rangle \langle u |{}] }{})] = \int_{\mathbb R} \lambda \langle u, F_A(d \lambda ) u \rangle =\langle u, Au \rangle \tag{4.17} \\ &{\bf 分散}((\sigma_{{\mathsf O}_A}^{\rho_u})^2):\;\;V[{\mathsf M}_{B(H)} ({\mathsf O}_A , S_{[{}|u\rangle \langle u |{}] }{})] = \int_{\mathbb R} (\lambda - \langle u, Au \rangle )^2 \langle u, F_A(d \lambda ) u \rangle = \| (A - \langle u, Au \rangle)u \|^2 \\ & \tag{4.18} \end{align} となる.4.2.3: ロバートソンの不確定性関係
ハイゼンベルグの不確定性原理(cf. 命題4.10命題 )の理解が不十分であった頃 (1991年以前)は, 次の「ロバートソンの不確定性原理」を, ハイゼンベルグの不確定性原理と 混同・ 理解されることが多かった.証明 ほとんどシュワルツの不等式と同じで,以下のようになる. \begin{align*} & |\langle u, [A_1, A_2]u \rangle | = | \langle u, (A_1A_2- A_2 A_1)u \rangle | \\ = & \Big| \Big\langle u, \Big( (A_1 -\langle u , A_1 u \rangle )(A_2 -\langle u , A_2 u \rangle ) - (A_2 -\langle u , A_2 u \rangle )(A_1 -\langle u , A_1 u \rangle ) \Big) u \Big\rangle \Big| \\ \le & 2 \| (A_1 - \langle u, A_1 u \rangle)u \| \cdot \| (A_2 - \langle u, A_2 u \rangle)u \| \end{align*}
