この節では、ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化を示す。
4.3.2: ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化
4.3.2.1 準備
基本構造
$[{\mathcal C}(H) \subseteq B(H)]_{B(H)}$
を考える.
$A_i$ $(i=1,2)$をヒルベルト空間$H$上の任意の(非有界)自己共役作用素とする. たとえば, 正準交換関係$[A_1 , A_2](:=A_1 A_2 - A_2 A_1 ) =\hbar \sqrt{-1}I$を満たすと仮定してもよい.
実軸${\mathbb R}$とそのボーレル集合体${\cal B}_{\mathbb R} $を考える.
自己共役作用素$A_i$のスペクトル分解$A_i=\int_{\mathbb R} \lambda F_{A_i}( d \lambda )$を使って, 射影観測量${\mathsf O}_{A_i}=({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_i} )$ を定める.
次の二つの測定を
同時測定
したい.
| $(B_1):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_1} ),$
$ S_{[\rho_u]})$
$\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u, A_1 u \rangle$
\item[(B$_2$)]${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_2}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_2} ),$
$ S_{[\rho_u]})$
$\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u, A_2 u \rangle$
|
\begin{align*}
(\forall \rho_u= |u\rangle \langle u | \in {\frak S}^p({\mathcal C}(H)^*))\end{align*}
しかしながら,
$A_1 A_2 - A_2A_1=0$とは限らないので（すなわち,
二つの射影観測量${\mathsf O}_{A_1}$と${\mathsf O}_{A_2}$は可換とは仮定していないので), 同時観測量${\mathsf{O}_{A_1}}\times {\mathsf{O}_{A_2}}$の存在は期待できないので,
-
一般には,この二つの測定を同時測定することはできない
すなわち,
| $(B_2):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}}\times {\mathsf{O}_{A_2}},$
$ S_{[\rho_u]})$
は不可となる. そうならば,
|
である.
このために, 上の二つの測定を次のように言い換えよう.
もう一つの別のヒルベルト空間$K$を考えて, $s(\in K)$を$\| s \|=1$のようにとる.
また, $B(H \otimes K)$内の二つの観測量${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_1} \otimes I )$と${\mathsf{O}_{A_2\otimes I}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_2}\otimes I )$を考える. また, 状態を
\begin{align*}
\textcolor{red}{\bf
\mbox{
状態${\widehat \rho}_{us}=|u \otimes s \rangle \langle u \otimes s|$}}
\end{align*}
と定めて, 次の二つの測定を考える.
| $(C_1):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$
$\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,( A_1 \otimes I)( u\otimes s ) \rangle= \langle u, A_1 u \rangle$
|
| $(C_2):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_2 \otimes I}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$
$\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,( A_2 \otimes I)( u\otimes s ) \rangle=\langle u, A_2 u \rangle$
|
当然のことであるが, この二つはそれぞれ上の二つの(B$_1$)と(B$_2$)と同じと見なせる.
すなわち,
\begin{align*}
\mbox{(C$_1$)=(B$_1$) $\quad$ (C$_2$)=(B$_2$)}
\end{align*}
である.
したがって(または, ${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}$と${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}$は一般には可換でないので), 上の二つの測定を同時測定することはできない.
したがって,何の進展もなかったわけで,
| $(C_3):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_1\otimes I}}\times {\mathsf{O}_{A_2\otimes I}},$
$ S_{[{\widehat{\rho}_{us}}]})$
は不可となる. そうならば,
|
これを進展させるために, 以下のような工夫をして,
-
「${A_1\otimes I}$と${A_2\otimes I}$の同時測定もどき${\widehat A}_1$と${\widehat A}_2$」
を考える.
準備 4.11
${\widehat A}_i$ $(i=1,2)$をテンソル ヒルベルト空間$H \otimes K$上の
任意の可換な自己共役作用素とする. すなわち,
\begin{align}
[{\widehat A}_1, {\widehat A}_2](:=
{\widehat A}_1{\widehat A}_2- {\widehat A}_2{\widehat A}_1)=0
\tag{4.21}
\end{align}
とする.
${\widehat A}_i$のスペクトル表現${\widehat A}_i=\int_{\mathbb R} \lambda F_{{\widehat A}_i}( d \lambda )$を使って, $B(H \otimes K)$内の観測量${\mathsf O}_{{\widehat A}_i}=({\mathbb R}, {\cal B},
F_{{\widehat A}_i} )$を定める.
ここで, 次の二つの測定を考える：
| $(D_1):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$
$\quad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,\widehat{A}_1( u\otimes s ) \rangle$
|
| $(D_2):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$
$\quad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,\widehat{A}_2( u\otimes s ) \rangle$
|
今度は, 可換条件から, 同時観測量
${\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}}=({\mathbb R}^2, {\cal B}^2,
F_{{\widehat A}_1} \times F_{{\widehat A}_2} )$が存在するから,
次の同時測定：
| $(D_3):$ |
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})
$
$\quad \xrightarrow[期待値]{}( \langle u\otimes s,\widehat{A}_1( u\otimes s ) \rangle,
\langle u\otimes s,\widehat{A}_2( u\otimes s ) \rangle)
$
|
が実現できる.
ここで,
-
$(C_3)$の代替として,$(D_3)$を考える
次のように, ${\widehat N}_i$を定める.
\begin{align}
{\widehat N}_i := {\widehat A}_i -A_i \otimes I
\quad
(\text{したがって, } {\widehat A}_i={\widehat N}_i +A_i \otimes I)
\tag{4.22}
\end{align}
ここで,
誤差：$\Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$と${\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}} }$と次のように定義する.
\begin{align}
&
\Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} =
\| ({\widehat A}_i -A_i \otimes I) (u \otimes s) \|
=
\| {\widehat N}_i (u \otimes s) \|
\tag{4.23}
\\
&
{\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} =\| ( {\widehat N}_i - \langle {u \otimes s} , {\widehat N}_i (u \otimes s)\rangle ) (u \otimes s) \|
\nonumber %\tag{8}
\end{align}
次の不等式は常識だろう.
\begin{align}
\Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
\ge
{\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
\tag{4.24}
\end{align}
また, 可換条件 (4.21)と(4.22)から次が言える.
\begin{align}
[{\widehat N}_1,{\widehat N}_2]
+
[{\widehat N}_1, A_2 \otimes I]+[A_1 \otimes I ,{\widehat N}_2]
=
-[A_1 \otimes I, A_2 \otimes I]
\tag{4.25}
\end{align}
ロバートソンの不確定性関係(cf.定理4.9)によって,
$
| \langle u \otimes s ,
[\mbox{第一項}] ( u \otimes s) \rangle |
$
は次のように評価できる.
\begin{align}
2 {\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
\ge
| \langle u \otimes s ,
[{\widehat N}_1,{\widehat N}_2] ( u \otimes s) \rangle |
\tag{4.26}
\end{align}
しかし,今のところ, ここでは,
$(C_3)$の代替として,
$(D_3)$を考えたに拘わらず
\begin{align*}
\mbox{
$A_i \otimes I$と${\widehat A}_i$には, いかなる関係も仮定していない
}
\end{align*}
ことに注意しよう.
4.3.2.2: 平均値一致条件; 近似同時測定
次の仮定は自然である.
仮定 4.12 [平均値一致条件].
次を仮定する.
\begin{align}
&
\langle u \otimes s, {\widehat N}_i(u \otimes s) \rangle =0 \qquad ( \forall u \in H, i=1,2)
\tag{4.27}
\end{align}
同じ意味で,
\begin{align}
\langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle
=
\langle u , {A}_i u \rangle
\qquad ( \forall u \in H, i=1,2)
\tag{4.28}
\end{align}
すなわち、
\begin{align*}
&\mbox{測定${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_i}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$の測定値の平均値}
\\
=
&
\langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle
\\
=
&
\langle u , {A}_i u \rangle
\\
=
&
\mbox{測定${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{{A}_i}},S_{[{ \rho}_{u}]})$の測定値の平均値}
\\
&
\quad ( \forall u \in H, ||u||_H =1, i=1,2)
\end{align*}
次の定義は重要である.
定義 4.13 [近似同時測定]
$A_1$と$A_2$をヒルベルト空間$H$上の任意の（非有界）自己共役作用素とする.
四つ組$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$を$A_1$と$A_2$の
近似同時観測量
とする. すなわち,次を満たすとする。
| $(E_1):$ |
$K$はヒルベルト空間.
$s \in K$, $\| s \|_K=1$,$\widehat{A}_1$
と$\widehat{A}_2$は
テンソルヒルベルト空間$H \otimes K$上の可換な(非有界)自己共役
作用素で次の平均値一致条件
(4.27)
を満たす。
\begin{align}
\langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle
=
\langle u , {A}_i u \rangle
\qquad ( \forall u \in H, i=1,2)
\tag{4.29}
\end{align}
|
平均値が一致するという意味で、
測定${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})
$を
(${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}},$
$ S_{[\rho_u]})$と
${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}},$
$ S_{[\rho_u]})$
の
)
近似同時測定
と言う.
また、
| $(E_2):$ |
${\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$
$(=
\|
(\widehat{A}_1-A_1 \otimes I)(u \otimes s)
\|
)$
and
${ \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$
$(=
\|
(\widehat{A}_2-A_2 \otimes I)(u \otimes s)
\|
)$
を近似同時測定
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$
の
誤差
と呼ぶ。
|
「誤差」とは言っても、注釈4.1(in $\S$4.3.1)で述べたような「普通の意味での誤差$|$測定値-真の値$|$」ではない。
したがって、「不確定性」と言った方が用心深かったかもしれない。
補題 4.14
$A_1$と$A_2$をヒルベルト空間$H$上の任意の（非有界）自己共役作用素とする.
四つ組$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$を$A_1$と$A_2$の近似同時観測量とする. すなわち,平均値一致条件(4.27)を満たすとする. このとき,次が成立する.
\begin{align}
&
\Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}=
{\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
\tag{4.30}
\\
&
\langle u \otimes s, [{\widehat N}_1, A_2 \otimes I](u \otimes s) \rangle
=
0
\qquad ( \forall u \in H)
\tag{4.31}
\\
&
\langle u \otimes s, [A_1 \otimes I, {\widehat N}_2](u \otimes s) \rangle =0
\quad ( \forall u \in H)
\tag{4.32}
\end{align}
したがって,ここまでの準備(ロバートソンの不確定性原理(4.20),(4.27), (4.29), (4.30), (4.31))によって,
次の「ハイゼンベルグの不確定性原理」を得る.
\begin{align}
&
{\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
(=
{\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
)
\ge
\frac{1}{2}
| \langle u ,
[A_1,A_2] u \rangle |
\quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 )
\tag{4.33}
\end{align}
上をまとめて次の定理をえる：
定理 4.15 [ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化]
$A_1$と
$A_2$をヒルベルト空間$H$上の(非有界)自己共役作用素とする.
このとき,次が成立する.
| $\mbox{(i):}$ |
$A_1$と$A_2$の近似同時観測量$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$が存在する.すなわち,$s \in K$, $\| s \|_K=1$で,$\widehat{A}_1$と$\widehat{A}_2$はテンソルヒルベルト空間$H \otimes K$上の
可換な(非有界)自己共役作用素であり,平均値一致条件(4.28)を満たす.
したがって,近似同時測定
${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})
$が存在する.
|
| $\mbox{(ii):}$ |
このとき, 次の不等式(ハイゼンベルグの不確定性原理)が成立する.
|
\begin{align}
{\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
(=
{\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
)
&
=
\|
(\widehat{A}_1-A_1 \otimes I)(u \otimes s)
\|
\cdot
\|
(\widehat{A}_2-A_2 \otimes I)(u \otimes s)
\|
\nonumber
\\
&
\ge
\frac{1}{2}
| \langle u ,
[A_1,A_2] u \rangle |
\quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 )
\tag{4.34}
\end{align}
| $\mbox{(iii):}$ |
特に。もし$A_1 A_2 - A_2 A_1 = \hbar \sqrt{-1}$
ならば、次が成立する：
\begin{align}
&
{\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}
\ge \hbar/2
\quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 )
\\
&
\tag{4.35}
\end{align}
|
近似同時測定の存在定理(i)とハイゼンベルグの不確定性関係(ii)の証明は,次を見よ.
ハイゼンベルグの不確定性原理(ii)の証明は,(4.32})で示したように簡単であるが,近似同時測定の存在定理(i)は多少難しい.
