6.1: 量子言語 (= 言語ルール1(測定: $\S$2.7) )の復習：カイ二乗分布

(A): 古典言語ルール1(古典測定: $\S$2.7) 純粋系
言語ルール1(古典系の測定)　純粋型は$\S$2.7で読めるようになったはず

あらゆる古典システムはある基本構造 $[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$内で定式化できる. $[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$ 内で定式化された 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega, \nu )} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F{}), S_{[{}\delta_{\omega_0} ] } \big)$ を 考えよう．
このとき, 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega, \nu )} \bigl({\mathsf O} , S_{[{}\omega_0{}] } \bigl)$ により得られる 測定値$ x$ $(\in X {})$ が， $ \Xi $ $(\in {\cal F}{})$ に属する確率は， (もし$F(\Xi)$が$\omega_0$で本質的連続ならば) $[F(\Xi)](\omega_0)$ で与えられる．

6.1.2 ガウス積分

実直線${\mathbb R}$を考える. 状態空間を $\Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+$ とする.　ここで, ${\mathbb R}_+=\{ \sigma \in {\mathbb R} | \sigma > 0 \}$とする. さて, \begin{align*} \mbox{ 古典系の基本構造 $[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$ } \end{align*} を考えよう. $L^\infty (\Omega (\equiv {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+))$内の 正規観測量 ${\mathsf O}_{G} = ({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, {{{{G}}}} )$ を以下のように定める. \begin{align} & [{{{{G}}}}({\Xi})] ({} {}{\omega} {}) = \frac{1}{{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}} \int_{{\Xi}} \exp[{}- \frac{({}{}{x} - {}{\mu} {})^2 }{2 \sigma^2} {}] d {}{x} \tag{6.1} \\ & \quad ({}\forall {\Xi} \in {\cal B}_{{\mathbb R}{}}\mbox{(=${\mathbb R}$内のボレル集合体))}, \quad \forall {}{\omega} =(\mu, \sigma) \in \Omega = {\mathbb R}{}\times {\mathbb R}_+). \nonumber \end{align}


例 6.2 [同時正規観測量]

$n$を自然数としよう. $L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の 正規観測量 ${\mathsf O}_{G} = ({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, {{{{G}}}} )$ の$n$次同時正規観測量 ${\mathsf O}_{G}^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{{G}}}^n} )$ を以下のように定める.

\begin{align} & [{{{{G}}}}^n ({\mathop{{{{\times}}}}}_{k=1}^n \Xi_k)] ({}\omega{}) = {\mathop{{{{\times}}}}}_{k=1}^n [{{{{G}}}}(\Xi_k)](\omega) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n} \underset{ \mathop{{{{\times}}}}_{k=1}^n \Xi_k } {\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2 } {2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \tag{6.2} \\ & \qquad ({}\forall \Xi_k \in {\cal B}_{{\mathbb R}{}}^{} ({}k=1,2,\ldots, n), \quad \forall {}{\omega}=(\mu, \sigma ) \in \Omega = {\mathbb R}\times {\mathbb R}_+{}). \nonumber \end{align} 三つの写像 $\overline{\mu}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$, ${\overline{SS}}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ そして, ${\overline{\sigma}}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ を次のように定義する. \begin{align} & \overline{\mu} (x) = \overline{\mu} (x_1,x_2,\ldots , x_n ) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \quad( \forall x=(x_1,x_2,\ldots , x_n ) \in {\mathbb R}^n ) \tag{6.3} \\ & {{\overline{SS}}} (x) = {{\overline{SS}}} (x_1,x_2,\ldots , x_n ) = {\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2} \quad( \forall x=(x_1,x_2,\ldots , x_n ) \in {\mathbb R}^n) \tag{6.4} \\ & {{\overline{\sigma}}} (x) = {{\overline{\sigma}}} (x_1,x_2,\ldots , x_n ) = \sqrt{ \frac {\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2} {n} } \quad( \forall x=(x_1,x_2,\ldots , x_n ) \in {\mathbb R}^n) \tag{6.5} \end{align}

したがって,$L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の二つの 像観測量( Image observable )

• $ \overline{\mu}({\mathsf O}_{G}^n) $ $= ({\mathbb R}, {\mathcal B}_{\mathbb R}, {{{{G}}}^n} \circ \overline{\mu}^{-1} )$ と ${{\overline{SS}}}({\mathsf O}_{G}^n) $ $= ({\mathbb R}_+, {\mathcal B}_{{\mathbb R}_+}, {{{{G}}}^n} \circ {{\overline{SS}}}^{-1} )$

$\qquad$要するに、 「測定値たちの平均をとれば、精度が上がる」 ということ。

ここで, $p^{{\chi}^2}_{n-1}({ x} )$ は, 自由度$(n-1)$の $\chi^2$-分布の確率密度関数,すなわち,