6.3(1): 母平均 (信頼区間 )
古典系の基本構造:
\begin{align}
[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]
\end{align}
を考える。
正数
$\alpha$は
$0 < \alpha \ll 1$
を満たすとする.
たとえば,
$\alpha = 0.05$
とする.
例6.7
$L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の
同時正規測定
${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$
$({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$
$S_{[(\mu, \sigma)]})$を考えよう.ここに,
$L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の
同時正規観測量
${\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n} )$
を以下のように定める.
\begin{align}
&
[{{{G}}}^n
({\mathop{{{{\times}}}}}_{k=1}^n \Xi_k)]
({}\omega{})
=
{\mathop{{{{\times}}}}}_{k=1}^n
[{{{G}}}(\Xi_k)](\omega)
\nonumber
\\
=
&
\frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n}
\underset{
{\mathop{{{{\times}}}}}_{k=1}^n \Xi_k }{\int \cdots \int}
\exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2
}
{2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n
\tag{6.24}
\\
&
\qquad
({}\forall \Xi_k \in {\cal B}_{{\mathbb R}{}}^{}
({}k=1,2,\ldots, n),
\quad
\forall {}{\omega}=(\mu, \sigma ) \in \Omega = {\mathbb R}\times {\mathbb R}_+{}).
\nonumber
\end{align}
したがって,状態空間$\Omega$と測定値空間$X$は
\begin{align*}
&
\Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+
\\
&
X={\mathbb R}^n
\end{align*}
となる. 第二状態空間$\Theta$は
\begin{align*}
&
\Theta = {\mathbb R}
\end{align*}
とする.
推定量
$E: {\mathbb R}^n \to \Theta (\equiv {\mathbb R} )$
と
システム量$\pi: \Omega \to \Theta $
を
\begin{align*}
&
E(x)=E(x_1, x_2, \ldots , x_n )
=
\overline{\mu}(x)
=
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
\\
&
\Omega={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+
\ni
\omega = (\mu, \sigma )
\mapsto \pi (\omega ) = \mu \in \Theta={\mathbb R}
\end{align*}
で定義する.
また,
$\Theta$内の半距離 $d_{\Theta}^{(1)}$
を
\begin{align*}
d_{\Theta}^{(1)}(\theta_1, \theta_2)
=
|\theta_1 - \theta_2|
\qquad
(\forall \theta_1, \theta_2 \in \Theta ={\mathbb R})
\end{align*}
で定める.
問題：
$x_1, x_2, .... x_n $を正規分布$N(\mu, \sigma )$
(母平均$\mu$は未知、母分散$\sigma$は既知)から得られたデータとする。
このとき、我々の問題は
である。
この問題を量子言語に翻訳すると、以下のようになる。
同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ を考えよう.この測定によって, 測定値$x \in X ={\mathbb R}^n$が得られたとする. $0 < \alpha \ll 1$とする. このとき,次を満たす${D}_{x}^{1- \alpha; \Theta}( \subseteq \Theta)$で,「出来るだけ小さいもの($\sigma$に依存してもよい)」を見つけよ
| $\bullet$ | 「$\mu \in {D}_{x}^{1- \alpha; \Theta}$」である確率が,$1-\alpha$以上である. |
任意の状態
$ \omega=(\mu, \sigma ) ({}\in \Omega=
{\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ )$
に対して,
正数
$\eta^{1- \alpha}_{\omega}$
$({}> 0)$
を以下のように定める.
\begin{align}
\eta^{1- \alpha}_{\omega}
=
&
\inf
\{
\eta > 0:
[G^n ({}E^{-1} ({}
{ {\rm Ball}_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi(\omega) ; \eta{}))](\omega )
\ge {1- \alpha}
\}
\nonumber
\\
=
&
\inf
\{
\eta > 0:
[G^n ({}E^{-1} ({}
{ {\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi(\omega) ; \eta{}))](\omega )
\le {\alpha}
\}
\tag{6.25}
\end{align}
ここに,
${{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi( \omega ) ; \eta)$
$=$
$\{ \theta
({}\in\Theta):
d_{\Theta}^{(1)} ({}\mu, \theta {}) \ge \eta \}$
$=
\Big(
( -\infty, \mu - \eta] \cup [\mu + \eta , \infty )
\Big)
$である.
したがって,
\begin{align}
&
E^{-1}({{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi (\omega) ; \eta ))
=
E^{-1}
\Big(
( -\infty, \mu - \eta] \cup [\mu + \eta , \infty )
\Big)
\nonumber
\\
=
&
\{
(x_1, \ldots , x_n )
\in {\mathbb R}^n
\;:
\;
\frac{x_1+\ldots + x_n }{n}
\le
\mu - \eta
\mbox{ or }
\mu + \eta
\le
\frac{x_1+\ldots + x_n }{n}
\}
\nonumber
\\
=
&
\{
(x_1, \ldots , x_n )
\in {\mathbb R}^n
\;:
\;
|\frac{(x_1- \mu)+\ldots + (x_n- \mu) }{n}
|
\ge \eta
\}
\tag{6.26}
\end{align}
よって,
\begin{align}
&
[{{{G}}}^n
(E^{-1}({{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi(\omega) ; \eta ))]
({}\omega{})
\nonumber
\\
=
&
\frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n}
\underset{{
|\frac{(x_1- \mu)+\ldots + (x_n- \mu) }{n}
|
\ge \eta
}}{\int \cdots \int}
\exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2
}
{2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n
\nonumber
\\
=
&
\frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n}
\underset{{
|
\frac{x_1+\ldots + x_n }{n}
|
\ge \eta
}}{\int \cdots \int}
\exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} {}{} {})^2
}
{2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n
\nonumber
\end{align}
ここで,ガウス積分の公式(6.6)より,
- (ガウス積分の公式(6.6)の導出は意外と難しい)
したがって, 任意の $x$ $({}\in {\mathbb R}^n)$, $D_x^{{1- \alpha}, \Theta}$ ( $({}{1- \alpha}{})$-信頼区間) は以下のようになる.
\begin{align} D_x^{{1- \alpha},\Omega} & = \{ (\mu, \sigma ) : d_{\Theta}^{(1)} ({}E(x), \pi (\omega)) \le \eta^{1- \alpha}_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{(\mu, \sigma ) \in {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \;:\; |\overline{\mu}(x) - \mu| = | \frac{x_1+ \ldots + x_n}{n} - \mu | \ge \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z(\frac{\alpha}{2}) \} \tag{6.30} \end{align} また。 \begin{align*} D_x^{{1- \alpha},\Theta} & = \{ \mu =\pi(\mu, \sigma ) : d_{\Theta}^{(1)} ({}E(x), \pi (\omega)) \le \eta^{1- \alpha}_{\omega } \} \nonumber \\ & = \{ \mu=\pi(\mu, \sigma ) \;:\; |\overline{\mu}(x) - \mu| = | \frac{x_1+ \ldots + x_n}{n} - \mu | \ge \frac{\sigma}{\sqrt{n}} z(\frac{{\alpha}}{2}) \} \end{align*}
