6.4(1): 母分散 (信頼区間法)
6.4.1: 準備 (同時正規測定)

$L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$を考えよう. ここに, $L^\infty({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)$内の 同時正規観測量 ${\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n} )$ を以下のように定めたことを思い出そう.

\begin{align} & [{{{G}}}^n ({\mathop{\Large \mbox{$\times$}}}_{k=1}^n \Xi_k)] ({}\omega{}) = {\mathop{\Large \mbox{$\times$}}}_{k=1}^n [{{{G}}}(\Xi_k)](\omega) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }\sigma{}}})^n} \underset{{{\mathop{\Large \mbox{$\times$}}}_{k=1}^n \Xi_k }}{\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2 } {2 \sigma^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \tag{6.45} \\ & \qquad ({}\forall \Xi_k \in {\cal B}_{{\mathbb R}{}}^{} ({}k=1,2,\ldots, n), \quad \forall {}{\omega}=(\mu, \sigma ) \in \Omega = {\mathbb R}\times {\mathbb R}_+{}). \nonumber \end{align} したがって,状態空間$\Omega$と測定値空間$X$は \begin{align*} & \Omega = {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \\ & X={\mathbb R}^n \end{align*} となる.　第二状態空間$\Theta$は \begin{align*} & \Theta = {\mathbb R}_+ \end{align*} とする. ここで, \begin{align*} \overline{\mu}(x) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{align*} として, 推定量 $E: {\mathbb R}^n \to \Theta (\equiv {\mathbb R}_+ )$ を \begin{align} & E(x)=E(x_1, x_2, \ldots , x_n ) = \sqrt{ \frac{(x_1-\overline{\mu}(x))^2 + (x_2-\overline{\mu}(x))^2 + \cdots + ( x_n-\overline{\mu}(x))^2 }{n} } \end{align} システム量$\pi: \Omega \to \Theta $を \begin{align} & \Omega={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \ni \omega = (\mu, \sigma ) \mapsto \pi (\omega ) = \sigma \in \Theta={\mathbb R}_+ \end{align} で定義する.

6.4.2: 信頼区間


問題： $x_1, x_2, .... x_n $を正規分布$N(\mu, \sigma )$ (母平均$\mu$は既知、母分散$\sigma$は未知)から得られたデータとする。 $ {\overline \mu} (x)= \frac{x_1 + x_2 + ...+ x_n }{n} $, $ {\overline \sigma} (x)= \Big( \frac{(x_1 - {\overline \mu}(x) )^2 + (x_2- {\overline \mu}(x) )^2 + ...+ (x_n- {\overline \mu}(x))^2 }{n}\Big)^{1/2} $ とする。
このとき、我々の問題は

  • 「$ \sigma e^{-\eta } \le {\overline \sigma} (x) \le \sigma e^{\eta}$」と信頼してもいいような、最小の$\eta (> 0)$を求めよ。

である。

この問題を量子言語に翻訳すると、以下のようになる。
問題6.12[母分散の信頼区間]. 同時正規測定 ${\mathsf M}_{L^\infty ({\mathbb R} \times {\mathbb R}_+)}$ $({\mathsf O}_G^n = ({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{\mathbb R}^n, {{{G}}^n}) ,$ $S_{[(\mu, \sigma)]})$ を考えよう.この測定によって, 測定値$x \in X ={\mathbb R}^n$が得られたとする. $0 < \alpha \ll 1$とする. このとき,次を満たす${D}_{x}^{1- \alpha; \Theta}( \subseteq \Theta)$で,「出来るだけ小さいもの($\mu$に依存してもよい)」を見つけよ
$\bullet$ 「$\sigma \in {D}_{x}^{1- \alpha; \Theta}$」である確率が,$1-\alpha$以上である.


$\Theta (={\mathbb R}_+ )$内に 次の半距離 $d_{\Theta}^{(1)}$ を考える.

\begin{align} d_{\Theta}^{(1)}(\theta_1, \theta_2) = | \int_{\sigma_1}^{\sigma_2} \frac{1}{\sigma} d \sigma | = |\log{\sigma_1} - \log{\sigma_2} | \tag{6.46} \end{align}

任意の $ \omega=(\mu, {\sigma} ) ({}\in \Omega= {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ )$に対して, 正数 $\eta^\alpha_{\omega}$ $({}> 0)$ を次のように定める. \begin{align} \eta^\alpha_{\omega} = \sup \{ \eta > 0: [F ({}E^{-1} ({} {{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi(\omega) ; \eta{}))](\omega ) \le \alpha \} \tag{6.47} \end{align} ここで, \begin{align} & {{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\pi(\omega) ; \eta ) = {{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}( {\sigma} , \eta ) = \{ \sigma' \;:\; |\log(\sigma'/{\sigma})| \ge \eta \} \nonumber \\ = & (0,{\sigma} e^{-\eta}] \cup [{\sigma} e^{\eta} , \infty ) \tag{6.48} \end{align} したがって, \begin{align} & E^{-1}( {{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\omega ; \eta )) = E^{-1} \Big( (0,{\sigma} e^{-\eta}] \cup [{\sigma} e^{\eta} , \infty ) \Big) \nonumber \\ = & \Big\{ (x_1, \ldots , x_n ) \in {\mathbb R}^n \;: \; \Big( \frac{\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2}{n} \Big)^{1/2} \le {\sigma} e^{ -\eta } \mbox{ or } {\sigma} e^{ \eta } \le \Big( \frac{\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2}{n} \Big)^{1/2} \Big\} \nonumber \\ & \tag{6.49} \end{align} よって,自由度$(n-1)$の$\chi^2$-分布の確率密度関数$p^{{\chi}^2}_{n-1}({ x} )$を用いて,ガウス積分の公式(6.7)から次を得る.

  • (ガウス積分の公式(6.7)の導出は意外と難しい)
\begin{align} & [{{{G}}}^n (E^{-1}({{\rm Ball}^c_{d_{\Theta}^{(1)}}}(\omega; \eta ))] ({}\omega{}) \nonumber \\ = & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }{\sigma}{}}})^n} \underset{{ E^{-1} \Big( (0,{\sigma} e^{-\eta}] \cup [{\sigma} e^{\eta} , \infty ) \Big) }}{\int \cdots \int} \exp[{}- \frac{\sum_{k=1}^n ({}{}{x_k} - {}{\mu} {})^2 } {2 {\sigma}^2} {}] d {}{x_1} d {}{x_2}\cdots dx_n \nonumber \\ = & \int_0^{{n} e^{- 2 \eta}} p^{\chi^2}_{n-1} (x ) dx + \int_{{n} e^{ 2 \eta}}^\infty p^{\chi^2}_{n-1} (x ) dx = 1- \int_{{n} e^{- 2 \eta}}^{{n} e^{ 2 \eta}} p^{\chi^2}_{n-1} (x ) dx \tag{6.50} \end{align} よって, $\eta^\alpha_{\omega}$ が次のように定まる. \begin{align} 1- \alpha = \int_{{n} e^{-2 \eta^\alpha_{\omega}}}^{{n} e^{2 \eta^\alpha_{\omega}}} p^{\chi^2}_{n-1} (x ) dx \tag{6.51} \end{align}

ここで, $\eta^\alpha_{\omega}$は$\alpha$と$n$に依存するが, $\omega$に依存しないことがわかる. すなわち,

\begin{align} \eta^\alpha_{\omega} = \eta^\alpha_{n} \tag{6.52} \end{align} である. 式(6.19)により, \begin{align} D_x^{\gamma,\Omega} & = \{ {\omega} (\in \Omega) : d^{(2)}_\Omega ({}E(x), \pi(\omega) ) \le \eta^\gamma_{n} \} \nonumber \\ & = \{ (\mu, \sigma ) \in {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \;: \; \sigma e^{- \eta^\gamma_{n} } \le \Big( \frac{\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2}{n} \Big)^{1/2} \le \sigma e^{ \eta^\gamma_{n} } \} \tag{6.53} \end{align} 式(6.4), i.e., $\overline{\sigma}(x) = \Big( \frac{\sum_{k=1}^n ( x_k - \overline{\mu} (x))^2}{n} \Big)^{1/2} ={(\frac{{\overline{S}}(x)}{n})}^{1/2} $を思い出して \begin{align} & = \{ (\mu, \sigma ) \in {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \;: \; \overline{\sigma}(x) e^{ - \eta^\gamma_{n}} \le \sigma \le \overline{\sigma}(x) e^{ \eta^\gamma_{n}} \} \nonumber \\ & = \{ (\mu, \sigma ) \in {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \;: \; \frac{e^{ - 2\eta^\gamma_{n}}}{n}{\overline{S}}(x) \le \sigma^2 \le \frac{e^{ 2\eta^\gamma_{n}}}{n}{\overline{S}}(x) \} \tag{6.54} \end{align} And \begin{align*} D_x^{{1 - \alpha, \Theta }} & = \{ \sigma \in {\mathbb R}_+ \;: \; \overline{\sigma}(x) e^{ - \delta^{1 - \alpha }_{n}} \le \sigma \le \overline{\sigma}(x) e^{ \delta^{1 - \alpha }_{n}} \} \nonumber \\ & = \{ (\mu, \sigma ) \in {\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ \;: \; \frac{e^{ - 2\delta^{1 - \alpha }_{n}}}{n}{\overline{SS}}(x) \le \sigma^2 \le \frac{e^{ 2\delta^{1 - \alpha }_{n}}}{n}{\overline{SS}}(x) \} \nonumber \end{align*}