8.3.1: 含意、 対偶
例 8.5の続きとして、 $[F (\{( y_{_{RD}} , n_{_{SW}}) \}) ] (\omega)=0$の場合について考えよう。
\begin{align} \frac{ [F (\{(y_{_{RD}} , y_{_{SW}}) \})](\omega) } { [F (\{(y_{_{RD}} , y_{_{SW}}) \})](\omega) + [F (\{(y_{_{RD}} , n_{_{SW}}) \})](\omega) } =1 \end{align}であるから, トマト $\omega $ が「赤い」 とわかったとき, そのトマト $\omega $ が 「甘い」ことがわかる確率は $1$となる. すなわち,
\begin{align} \mbox{" $[F (\{( y_{_{RD}} , n_{_{SW}}) \}) ] (\omega) = 0$"} \quad \Longleftrightarrow \quad \Big[ \mbox{" Red"} \Longrightarrow \mbox{" Sweet"} \Big] \end{align}上の議論から, 次の定義 「含意($\Rightarrow$)」 (すなわち, 「測定理論的含意」, 「二元論的含意」) を得る:
もちろん, これを,
$(A):$ | 測定${\mathsf M}_{{\overline{\mathcal A}}} ({\mathsf O}_{12} , S_{ [\rho] }{})$ により, 測定値 $(x_1, x_2) (\in X_1 \times X_2)$ が得られたとする. このとき, $x_1 \in \Xi_1$ ならば $x_2 \in \Xi_2$ である. |
と読む. これは次のように一般化できる. 基本構造$[ {\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_{12...n}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{k=1}^n X_k ,$ $ \boxtimes_{k=1}^n{\cal F}_k , $ ${F}_{12...n} = \underset{k=1,2,...,n}{\mathop{\times}^{qp}} F_k {})$ を考える. また, $\rho \in {\frak S}^p({\mathcal A}^*) $, $\Xi_i$ $ \in {\cal F}_i $, $\Xi_j$ $ \in {\cal F}_j$ として($1{{\; \leqq \;}}i , j {{\; \leqq \;}}n$), ここで,
\begin{align*} {}_{{\mathcal A}^*} \big(\rho, {F}^{(ij)}_{12...n} (\Xi_i \times ( \Xi^c_j{}){}) \big) {}_{\overline{\mathcal A} } = 0 \end{align*} (ここに, $\Xi^c$は$\Xi$の補集合) が成立するとき, \begin{align} [{\mathsf O}_{12...n}^{(i)};{\Xi_i}] \underset{ {\mathsf M}_{{\overline{\mathcal A}}} ({\mathsf O}_{12...n} , S_{ [\rho] }{}) }{ \Longrightarrow} [{\mathsf O}_{12...n}^{(j)};{\Xi_j}] \tag{8.6} \end{align} と書く.
定理 8.7 [対偶]
${\mathsf O}_{12}$
$=$
$(X_1 \times X_2 ,$
$ {\cal F}_1 \boxtimes {\cal F}_2 ,$
$ F_{12}{}{{=}} F_1
{\mathop{\times}^{qp}}
F_2)$
を
${{\overline{\mathcal A}}}$
内の
観測量
とする.
$\rho \in {\frak S}^p({\mathcal A}^*) $
とする.
$\Xi_1$
$ \in {\cal F}_1 $
と
$\Xi_2$
$ \in {\cal F}_2$
を考える.このとき,
\begin{align}
[{\mathsf O}_{12}^{(1)};{\Xi_1}]
\underset{ {\mathsf M}_{{\overline{\mathcal A}}} ({\mathsf O}_{12} ,
S_{ [\rho] }{}) }{ \Longrightarrow}
[{\mathsf O}_{12}^{(2)};{\Xi_2}]
\tag{8.7}
\end{align}
ならば,
\begin{align*}
[{\mathsf O}_{12}^{(1)};{\Xi_1^c}]
\underset{ {\mathsf M}_{{\overline{\mathcal A}}} ({\mathsf O}_{12} ,
S_{ [\rho] }{}) }{ \Longleftarrow}
[{\mathsf O}_{12}^{(2)};{\Xi_2^c}]
\end{align*}
証明$\;\;$
証明は自明であるが,念の為,証明を加える.
条件
(8.7)を仮定しよう.
すなわち,
\begin{align*}
{}_{{\mathcal A}^*} \big(\rho,
F_{12}{}
(\Xi_1 \times (X_2 \setminus \Xi_2{}){})
\big) {}_{\overline{\mathcal A} }
=
0
\end{align*}
ここで,
$\Xi_1 \times \Xi_2{}^c
=
(\Xi_1^c)^c \times \Xi_2^c
$
だから,
\begin{align*}
{}_{{\mathcal A}^*} \big(\rho,
F_{12}{}
(
(\Xi_1^c)^c \times \Xi_2^c{})
\big) {}_{\overline{\mathcal A} }
=
0
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
[{\mathsf O}_{12}^{(1)};{\Xi_1^c}]
\underset{ {\mathsf M}_{{\overline{\mathcal A}}} ({\mathsf O}_{12} ,
S_{ [\rho] }{}) }{ \Longleftarrow}
[{\mathsf O}_{12}^{(2)};{\Xi_2^c}]
\end{align*}
を得る.