9.1.1: 言語ルール$^{(m)}$ 1 (混合測定)




前章までは, 純粋型測定理論, すなわち,

\[ \underset{\mbox{ (=量子言語)}}{\fbox{純粋測定理論 (A)}} := \underbrace{ \underset{\mbox{ (\(\S\)2.7)}}{ \overset{ [\mbox{ (純粋) 言語ルール1}] }{\fbox{純粋測定}} } \quad + \quad \underset{\mbox{ ( \(\S \)10.3)}}{ \overset{ [{\mbox{ 言語ルール2}}] }{\fbox{因果関係}} } }_{\mbox{ 一種の呪文 (アプリオリな総合判断)}} + \underbrace{ \underset{\mbox{ (\(\S\)3.1) }} { \overset{ {}}{\fbox{言語的解釈}} } }_{\mbox{ 呪文の使い方のマニュアル}} \tag{9.1} \] を説明した( まだ,因果関係については説明していないが ).

本章では, 混合型測定理論, すなわち,



\[ \underset{\mbox{ (=量子言語)}}{\fbox{混合測定理論 (A)}} := \underbrace{ \textcolor{red}{ \underset{\mbox{ (\(\S\)9.1)}}{ \overset{ [\mbox{ (混合) 言語ルール1}] }{\fbox{混合測定}} } } \quad + \quad \underset{\mbox{ ( \(\S \)10.3)}}{ \overset{ [{\mbox{ 言語ルール2}}] }{\fbox{因果関係}} } }_{\mbox{ 一種の呪文 (アプリオリな総合判断)}} + \underbrace{ \underset{\mbox{ (\(\S\)3.1) }} { \overset{ {}}{\fbox{言語的解釈}} } }_{\mbox{ 呪文の使い方のマニュアル}} \tag{9.2} \] を説明する.

復習 9.1 [=準備 2.30].
$(A1):$

$W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\rho] } \big)$, ここに、$ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $ は$\overline{\mathcal A}$内の$W^*$-観測量, 純粋状態$\rho (\in {\frak S}^p({\mathcal A}^*))$, また、"$W^*$-測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ S_{[{}\rho] } \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \mbox{ "測定${}^{W^*}$ ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}, $ $ S_{[{}\rho] } \big)$"） }, \quad \mbox{ (または、略して、 "測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ S_{[{}\rho] } \big)$") }, \end{align*}
$(A_2):$ $C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\rho] } \big)$, ここに $ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $ は${\mathcal A}$内の$C^*$-観測量, 純粋状態$\rho (\in {\frak S}^p({\mathcal A}^*))$, ここに, "$C^*$-測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ S_{[{}\rho] } \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \mbox{ "測定${}^{C^*}$ ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ S_{[{}\rho] } \big)$" }, \quad \mbox{ (または、略して、 "測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ S_{[{}\rho] } \big)$"） }, \end{align*}

以下のように、４つの「混合測定」を導入する。 ただし、本書で頻出なのは、(B$_1$)だけである。 (B$_2$)はたまたま使うが、(B$_3$)と(B$_4$)は使わない。


準備 9.2

$(B_1):$ $W^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$, ここに、$ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $ は$\overline{\mathcal A}$内の $W^*$-観測量。 $W^*$-混合状態$w_0 (\in \overline{\frak S}^m(\overline{\mathcal A}_*))$, Here, "$W^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \!\!\!\!\! \mbox{ "$W^*$-混合測定${}^{W^*}$ ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$" }, \;\; \mbox{(または、略して、 "混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$"） } \end{align*}
$(B_2):$ $C^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ {S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$, ここに$ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $は$\overline{\mathcal A}$ 内の$W^*$-観測量。 $C^*$-混合状態$\rho_0 (\in {\frak S}^m({\mathcal A}^*))$, ここに, "$C^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \!\!\!\!\! \mbox{ "$C^*$-混合測定${}^{W^*}$ ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$" }, \;\; \mbox{(または、略して、 "混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$"） } \end{align*}
本書では、主に上の二つに集中する。 また、「$\overline{S}_{[\ast]}$ in $(B_1)$」 はしばしば「${S}_{[\ast]}$」 と略記される。 次の二つも補足しておく

$(B_3):$ $W^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$, ここに$ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $ は ${\mathcal A}$内の $C^*$-観測量。 $W^*$-混合状態$w_0 (\in \overline{\frak S}^m(\overline{\mathcal A}_*))$, ここに, "$W^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \!\!\!\!\! \mbox{ "$W^*$-混合測定${}^{C^*}$ ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$" }, \;\; \mbox{(または、略して、 "混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(w_0) \big)$"） } \end{align*}
$(B_4):$ $C^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$, ここに$ {\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $ は ${\mathcal A}$ 内の$C^*$-観測量, $C^*$-混合状態$\rho_0 (\in {\frak S}^m({\mathcal A}^*))$, ここに, "$C^*$-混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}, $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$" は次のように記されることも多い： \begin{align*} \!\!\!\!\! \mbox{ "$C^*$-混合測定${}^{C^*}$ ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {\overline S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$" }, \;\; \mbox{(または、略して、 "混合測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{}}. $ $ {S}_{[{}\ast]}(\rho_0) \big)$"） } \end{align*}


本書では、 (C$_1$) ( たまには (C$_2$) ) に集中する。

  • (C):$\qquad$言語ルール$^{(m)}$ 1 (混合測定)

ある基本構造 $[{\mathcal A} \subseteq {\overline{\mathcal A}} \subseteq B(H)] $ 内で定式化された$W^*$-混合型測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\ast] }(w) \big)$ $\Big($ または, $C^*$-混合型測定 ${\mathsf M}_{{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\ast] }(w) \big)$ $\Big)$ を考える.

(C$_1$): $W^*-$混合状態$w \in \overline{\frak S}^m(\overline{\mathcal A}_*))$と $\overline{\mathcal A}$内の$W^*$-観測量${\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $を考える. $W^*$-混合型測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\ast] }(w) \big)$ によって得られる 測定値 $ x$ $(\in X {})$ が， $ \Xi $ $(\in {\cal F}{})$ に属する 確率 は, \begin{align*} {}_{ {\overline{\mathcal A}}_*} (w , F(\Xi) )_{\overline{\mathcal A}} \;\;\; \Big( \equiv w (F(\Xi)) \Big) \end{align*} で与えられる．

(C$_2$): $C^*-$混合状態$w \in {\frak S}^m({\mathcal A}^*))$と ${\mathcal A}$内の$C^*$-観測量${\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}) $を考える. $C^*$-混合型測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X, {\cal F} , F{}), $ $ S_{[{}\ast] }(w) \big)$ によって得られる 測定値 $ x$ $(\in X {})$ が， $ \Xi $ $(\in {\cal F}{})$ に属する 確率 は, \begin{align*} {}_{ {{\mathcal A}}^*} (w , F(\Xi) )_{{\mathcal A}} \;\;\; \Big( \equiv w (F(\Xi)) \Big) \end{align*} で与えられる (本講義では,(C$_1$)の$W^*-$混合測定を主に扱う).

  • 当面の目標は,これを丸暗記すること
であるはずであるが,もう既にほとんど「丸暗記」の準備ができているので、 後は練習・演習を繰り返せばよい。

注意9.3 言語ルール${}^{(m)}$ 1 (混合測定) において、 (C$_1$)と(C$_2$)はそんなに違わない。

$(\sharp1):$ 量子系では, ${\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))=\overline{\frak S}^m({\mathcal Tr}(H))$ (cf. (2.17)) なので、 (C$_1$)=(C$_2$)は自明,
$(\sharp_2):$ 古典系では, 次の対応 \begin{align*} L^1_{+1}( \Omega. \nu ) \ni w_0 \xrightarrow[]{\rho_0(D) = \int_D w_0 (\omega ) \nu(d \omega ) } \rho_0 \in {\mathcal M}_{+1}(\Omega ) \end{align*} を考えてよい場合は、 \begin{align*} {\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega. \nu )} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F{}), {\overline S}_{[{}\ast] }(w_0) \big) = {\mathsf M}_{L^\infty ( \Omega. \nu )} \big({\mathsf O}{{=}} (X, {\cal F} , F{}), S_{[{}\ast] }(\rho_0) \big) \end{align*} となる。

したがって、(C$_1$)と(C$_2$)はそんなに違わないが、 混乱を避けるために、次のように決めておく。

$\bullet$ $W^*$-混合状態$w_0$ $( \in \overline{\frak S}^m(\overline{\mathcal A}_*)$ は ローマ字 (e.g., $w_0, w, v,...$)で書く
$\bullet$ $C^*$-混合状態$\rho_0$ $( \in {\frak S}^m({\mathcal A}^*)$は ギリシャ文字 (e.g., $\rho_0, \rho,...$)で書く