一般には,「主観確率」という言葉が流布しているが,その意味するところは,明快とは言えない.　と言うよりも、誤解されやすい言葉である。 測定理論(=量子言語)では,

  • 主観確率=混合状態
として,「主観確率」という言葉は原則としては使わない.
さて,
  • ベイズ統計の説明を以下にしよう
次は明らか.

定理 9.10 [条件付き確率(一般ベイズの定理)] ある基本構造 $[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ 内で定式化された混合測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X \times Y , {\cal F} \boxtimes {\cal G} , H{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast] }(w) \big)$ を考える．ここで, 混合測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X \times Y , {\cal F} \boxtimes {\cal G} , H{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast] }(w) \big)$ によって得られた 測定値 $( x, y)$ $(\in X \times Y {})$ が， $ \Xi \times Y$ $(\in {\cal F}{})$ に属していたとする. このとき, 「$ y \in \Gamma $」である{\bf 確率}は, \begin{align*} \frac{{}_{\overline{\mathcal A}_*} (w, H(\Xi \times \Gamma))_{\overline{\mathcal A}} }{ {}_{\overline{\mathcal A}_*} (w, H(\Xi \times Y))_{\overline{\mathcal A}} } \quad (\forall \Gamma \in {\cal G}) \end{align*} で与えられる．

証明 条件付き確率の定義より、明らか。

${\square}\quad$


これは,古典系の場合は,次のように書くことができる.

定理 9.11 [ベイズ定理(古典混合測定の場合)]. 古典系のある基本構造 $[C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty(\Omega, \nu ) \subseteq B( L^2 (\Omega, \nu ) )]$ 内で定式化された混合同時測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} \big({\mathsf O}{{=}} $ $ (X \times Y , {\cal F} \boxtimes {\cal G} , F \times G{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast] }({w_0}) \big)$ を考える．ここで,観測量${\mathsf O}_{12}{{=}} (X \times Y , {\cal F} \boxtimes {\cal G} , F \times G{})$ は,二つの観測量 ${\mathsf O}_{1}{{=}} (X , {\cal F} , F {})$ と ${\mathsf O}_{2}{{=}} (Y , {\cal G} , G{})$の同時観測量とする.すなわち, \begin{align} (F \times G)(\Xi \times \Gamma ) = F(\Xi ) \cdot G(\Gamma) \qquad (\forall \Xi \in {\mathcal F}, \forall \Gamma \in {\mathcal G}) \tag{9.10} \end{align} ここで,

$(a):$ 混合同時測定 ${\mathsf M}_{ L^\infty (\Omega ) } \big({\mathsf O}_{12}{{=}} $ $ (X \times Y , {\cal F} \boxtimes {\cal G} , F \times G{}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast] }({w_0}) \big)$ によって得られた 測定値 $( x, y)$ $(\in X \times Y {})$ が， $ \Xi \times Y$ $(ここに,　\Xi \in {\cal F}{})$ に属していたとする.
このとき, 「$ y \in \Gamma $」である 確率 は, \begin{align} \frac{{}_{L^1(\Omega )} ({w_0}, H(\Xi \times \Gamma))_{{L^\infty (\Omega ) }} }{ {}_{ L^1(\Omega ) } ({w_0}, H(\Xi \times Y))_{{L^\infty (\Omega )}} } & \Big( = \frac{ \int_\Omega [F(\Xi )](\omega) \cdot [G(\Gamma )](\omega ) \cdot {w_0}(\omega ) \nu(d \omega ) }{ \int_\Omega [F(\Xi )](\omega) \cdot {w_0}(\omega ) \nu(d \omega ) } \Big) \tag{9.11} \end{align} で与えられる．ここで,
$(b):$ $w_{\rm new}(\omega )= \frac{[F(\Xi)](\omega ) \cdot {w_0}(\omega )}{\int_\Omega [F(\Xi)](\omega ) \cdot {w_0}(\omega ) \nu(d \omega )} $ $(\;\; \forall \omega \in \Omega ) $
と定めれば, \begin{align} (9.11) & = \int_{\Omega } [G(\Gamma )](\omega ) w_{\rm new}(\omega ) \nu (d \omega ) \quad (\forall \Gamma \in {\cal G}) \tag{9.12} \end{align} とできる.


注意9.12 [[ベイズの定理の通常の読み方] 上の文言(b)を次のように読む.

$(b$'$):$ 混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega ) } \big({\mathsf O}_1{{=}} $ $ (X , {\cal F} , F {}), $ $ {\overline S}_{[{}\ast] }({w_0}) \big)$ によって得られた 値 $ x$ $(\in X{})$ が， $ \Xi $ $(\in {\cal F}{})$ に属していたとすると、 次の状態変化が起こる： $$ \qquad \qquad \underset{事前確率}{\fbox{${w_0}$}} \xrightarrow[\mbox{ 測定(a$'$)により,状態が変化する}]{} \underset{事後確率}{\fbox{$w_{\rm new}$}} $$
しかし,言語的解釈では,
$(c):$ 測定は一回だけで,したがって,測定後のことは,(もう測定できないのだから)知る術がない.
であるから,原則に固執するならば,
  • 定理9.11はOKだが,状態の変化(b$'$)はNG

となる.　しかし,本書でも,便宜的な方便として,ベイズの定理(=状態の変化(b$'$))を, 定理9.11(ベイズの定理)の意味でしばしば使う.

解答 9.13 [ベイズの定理(問題9.5の再掲とその問(c$_2$)の解答)]

問題9.5の解答と重複するが, 問(a)の解も書いておく.

状態空間$\Omega=\{\omega_1, \omega_2\}$は離散距離を持ち, 測度$\nu$は次を満たすとする：

\begin{align} \nu(\{ \omega_1 \})=1, \qquad \nu(\{ \omega_2 \})=1 \tag{9.13} \end{align} さて,古典系の基本構造 \begin{align} [C_0(\Omega) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))] \tag{9.14} \end{align}

内の(混合)測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} ({\mathsf O} {{=}}$ $ ( \{ 白,$ $ 黒 \},$ $ 2^{\{ 白, 黒 \} } ,$ $ F{}) , {\overline S}_{ [{}{\ast}]}{({w_0})})$ を考える．ここで, $L^\infty (\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F_{白黒}{})$ を次のように定義する：

\begin{align} & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_1{})= 0.8, & \quad & [ F_{白黒}(\{ 黒 \}{})](\omega_1{})= 0.2 \nonumber \\ & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_2{})= 0.4, & \quad & [F_{白黒}(\{ 黒 \}{})] (\omega_2{})= 0.6 \tag{9.15} \end{align} また,${w_0} \in L^1_{+1}(\Omega , \nu )$は次のように定める. \begin{align} {w_0}(\omega_1 ) = p, \qquad {w_0}(\omega_2)=1-p \tag{9.16} \end{align}

(a): したがって， 混合言語ルール1に従って, (混合)測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} ({\mathsf O} {{=}}$ $ ( \{ 白,$ $ 黒 \},$ $ 2^{\{ 白, 黒 \} } ,$ $ F{}) , {\overline S}_{ [{}{\ast}]}{({w_0})})$によって，測定値 $x$ $(\in \{ 白 , 黒 \}{})$ が得られる確率は

\begin{align} P(\{ x \}{}) &= {}_{L^1(\Omega )} \big( {w_0}, F(\{x \}) \big)_{L^\infty(\Omega)} = \int_\Omega [F(\{ x \}{})]( \omega) \cdot {w_0} (\omega) \nu(d \omega{}) \nonumber \\ & = p [F(\{ x \}{})](\omega_1) + (1-p) [F(\{ x \}{})](\omega_2) \nonumber \\ &= \begin{cases} 0.8 p + 0.4 (1-p{}) \quad & (x=白{}\; \text{のとき}) \\ 0.2 p + 0.6 (1-p{}) \quad & (x=黒{}\; \text{のとき}) \end{cases} \tag{9.17} \end{align} である．


[$W^*$-代数的解答 to 問題9.5(c$_2$) in $\S$9.1.2] 混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)}({\mathsf O}, {\overline S}_{[*]}(w_0))$ によって 「白球」を取り出したのだから， 新たな混合状態$w_{\rm new} (\in L^1_{+1}(\Omega ))$は， \begin{align*} w_{\rm new}(\omega )&= \frac{[F(\{ 白\})](\omega ) \cdot {w_0}(\omega )}{\int_\Omega [F(\{ 白\})](\omega ) \cdot {w_0}(\omega ) \nu(d \omega )} \\ & = \begin{cases} \frac{\displaystyle 0.8 p }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \qquad & (\omega = \omega_1 のとき) \\ \\ \frac{\displaystyle 0.2(1- p) }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \quad & (\omega = \omega_2 のとき) \end{cases} \end{align*} となる．

[$C^*$-代数的解答 to 問題9.5(c$_2$)in $\S$9.1.2]


混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)}({\mathsf O}, S_{[*]}(\rho_0))$, によって、 「白球」が得られたのだから、 事後混合状態$\rho_{\rm new} (\in {\mathcal M}_{+1}(\Omega ))$は 次のようになる。

\begin{align} \rho_{\rm new} & % = \frac{ F(\{ {{W}}\} ) \rho_0 }{\int_\Omega [F( \{ {{W}}\} )](\omega) \rho_0(d \omega )} = \frac{\displaystyle 0.8 p }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \delta_{\omega_1} + \frac{\displaystyle 0.4(1- p) }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \delta_{\omega_2} \end{align}
$\square \quad$








さて、 「ベイズ統計とは、何か？」 と問うかもしれない。 これには、次のように答えよう：

  • ベイズ統計とは、ベイズの定理9.11を使うこと


である。

混合測定を使う場合は、大抵は、「ベイズ統計」が前提と思ってよい。 本書では、 17節(心理測定)だけは、混合測定でありながら、ベイズ統計とは関わらない。