9.11: 等確率の原理： モンティホール問題 と 三囚人の問題



本節は,次からの抜粋：

$(\sharp):$ S. Ishikawa; Final Solutions of Monty Hall Problem and Three Prisoners Problem S. Ishikawa, "A 測定Theoretical Foundation of Statistics," arXiv:1408.0963v1 [stat.OT] 2014






問題9.25 [(=問題9.16) モンティホール問題(等確率の原理)]
$\quad$ あなたはゲームショウに参加している.三つのドア (i.e., ドア$A_1$, ドア$A_2$, ドア$A_3$)があって, 一つのドアの後ろには『自動車』が, また他の二つのドアの後ろには『羊』が隠されている.　司会者はドアの後ろが見えるが,あなたには見えない. 司会者が,「どのドアの後ろに,『自動車』が隠されていると思いますか？」 とあなたに問う.

$(\sharp_1):$ あなたは公正なサイコロ投げで, ドア$A_1$を選んだ. すなわち,「確率1/3」で, ドア$A_1$と答えたとしよう.

そこで,司会者は「ドア$A_3$の後ろは,『羊』ですよ」とあなたに教えてくれた. さらに,司会者は 「あなたは,ドア$A_1$と言ってしまいましたが,いまからでも,ドア$A_2$に変更できますよ」と言った.さて,ここで,
$\bullet$ あなたは,ドア$A_1$のままにして変更しないか,または,ドア$A_2$に変更しますか？






問題9.26[三囚人の問題(等確率の原理)] 三人の死刑囚$A_1$, $A_2$と$A_3$が牢屋に入っている. 皇帝によって,三人の内の一人は恩赦で,罪を許されたが, 恩赦された者が誰だかは,皇帝は知っているが,三人には知らされていない. 三人の囚人が皇帝に聞きたがったが,質問者は一人と言われたので,
$(\sharp_2):$ 質問者を公正なサイコロ投げで決めた. その結果として,「確率1/3」で囚人$A_1$が質問者になった.
ここで,囚人$A_1$が皇帝に次のように言った. 「 私以外の二人の内で,すくなくとも一人は,死刑のはず. その一人を私だけに教えてくれませんか？」 皇帝はすこし考えたが, 「囚人$A_1$には,関係ないことなので,いいか」と思って, 「$A_3$さんは死刑だよ」 と答えた. そこで, 囚人$A_1$は次のように考えた.
$\bullet$ もともとは,３人の内で一人が恩赦だったのに, $A_3$さんは死刑確定で,結局,二人の内で一人になったのだから, ラッキーと考えた. ここで,問題は
$(\flat)$ $A_1$さんは本当にラッキーなのだろうか？
である.



解答

定理9.18(等確率の原理)より, 問題9.25[モンティホール問題(あなたが公正なサイコロを投げる場合)]と 問題9.26[三囚人の問題(質問者を公正なサイコロ投げで決める場合)] はそれぞれ 問題9.23[モンティホール問題]と 問題9.24[三囚人の問題] の $p_1=p_2=p_3=1/3$の場合と同じと見なすことができる。 したがって,

$(B1''):$ 問題9.25[モンティホール問題(あなたが公正なサイコロを投げる場合)] では \begin{align*} \mbox{ $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_1 \}{})$ $<$ $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_2 \}{})$ (i.e., $p_1=1/3 < 2/3=2 p_2 $)だから, あなたは ドア$A_2$を選ぶべき} \end{align*}
$(B2''):$ 問題9.26[三囚人の問題(質問者を公正なサイコロ投げで決める場合)] では, \begin{align*} \mbox{ $ \nu_{0} (\{\omega_1\}) = \nu_{post} (\{\omega_1\})$ (i.e., $p_1 =1/3= 1- 2 p_2$)だから, 囚人$A_1$の幸福度は不変 } \end{align*}
となる

$\fbox{注釈9.6}$ 三囚人の問題(やモンティ・ホール問題)が哲学者たちの興味の対象であり続けたのは, 「チョット間違いやすい問題」だからでない. 哲学者たちの興味を引いた理由は,本節で示したように,
  • 「確率」と「二元論的記述」について,深い洞察を促す問題である
からである. また、もう一つの「等確率の原理」については、問題18.5で議論する。