10.2.2: 簡単な例─有限状態空間ならば，因果作用素は行列表現可能
例 10.7 [決定的因果作用素，決定双対因果作用素，決定的因果写像
]
2つの状態空間$\Omega_1$
と
$\Omega_2$
を実直線${\mathbb R}$，すなわち,
$\Omega_1=\Omega_2={\mathbb R}$
として,測度$\nu_1$と$\nu_2$はルベーグ測度とする．
二つの古典系の基本構造：
^2+3.png)
\begin{align*}
[
C_0(\Omega_1(\equiv {\mathbb R}) ) \subseteq L^\infty (\Omega_1, \nu_1 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_1, \nu_1 ))]
\end{align*}
\begin{align*}
[
C_0(\Omega_2(\equiv {\mathbb R})) \subseteq L^\infty (\Omega_2, \nu_2 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_2, \nu_2 ))]
\end{align*}
を考える.
決定的因果写像
$\phi_{1,2} : \Omega_1 \to \Omega_2 $
を,
たとえば，二次関数:
\begin{align*}
\omega_2 = \phi_{1,2}(\omega_1 )= 3 (\omega_1)^2 +2
\qquad
(\forall \omega_1 \in \Omega_1 ={\mathbb R})
\end{align*}
で定める．
このとき，
点測度$\delta_{(\cdot)}$
を用いて書けば，
決定双対因果作用素
${\Phi}^*_{1,2}:{\cal M}_{}(\Omega_1)
\to {\cal M}_{}(\Omega_2) $
が次のように定義できる．
\begin{align*}
{\Phi}^*_{1,2} \delta_{\omega_1} = \delta_{3 (\omega_1)^2 +2}
\qquad
(\forall \omega_1 \in \Omega_1 )
\end{align*}
であり，
決定的因果作用素$\Phi_{1,2}:L^\infty (\Omega_2)
\to L^\infty (\Omega_1) $
は，
\begin{align*}
[\Phi_{1,2}
(f_2)](\omega_1 )
=
f_2(3 (\omega_1)^2 +2)
\qquad
(\forall f_2 \in L^\infty (\Omega_2), \forall \omega_1 \in \Omega_1 )
\end{align*}
によって定まる．
例 10.8 [双対因果作用素・因果作用素]
2つの有限状態空間$\Omega_1$
と
$\Omega_2$
を，
$\Omega_1=\{ \omega_1^1, \omega_1^2, \omega_1^3 \}$
と
$\Omega_2=\{ \omega_2^1 , \omega_2^2\}$
と定める．
$\rho_1 (\in {\cal M}_{+1}(\Omega_1))$を，
点測度
$\delta_{(\cdot)}
(\in
{\cal M}_{+1}(\Omega_1)
)
$
を用いて，
\begin{align*}
\rho_1= a_1 \delta_{\omega_1^1} +a_2 \delta_{\omega_1^2} +a_3 \delta_{\omega_1^3}
\quad
(0{{\; \leqq \;}}a_1,a_2 ,a_3 {{\; \leqq \;}}1,
a_1+a_2 +a_3=1)
\end{align*}
で定める．
このとき，
双対因果作用素
${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}_{+1}(\Omega_1) \to {\cal M}_{+1}(\Omega_2)$
は
\begin{align*}
{\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) = &
(c_{11}a_1+c_{12}a_2+c_{13}a_3)\delta_{\omega_2^1}
+
(c_{21}a_1+c_{22}a_2+c_{23}a_3)\delta_{\omega_2^2}
\\
\;
&
(0 {{\; \leqq \;}}c_{ij} {{\; \leqq \;}}1,
\sum\limits_{i=1}^2 c_{ij} =1)
\end{align*}
と表現できる．
ここで，同一視：${\cal M}(\Omega_1) {\; \approx \;} {\mathbb C}^3$，
${\cal M}(\Omega_2) {\; \approx \;} {\mathbb C}^2$，
すなわち，
\begin{align*}
&
{\cal M}(\Omega_1)
\ni
\alpha_1 \delta_{\omega_1^1} +\alpha_2 \delta_{\omega_1^2} +
\alpha_3 \delta_{\omega_1^3}
\underset{同一視}{\longleftrightarrow}
\left[\begin{array}{ll}
\alpha_1
\\
\alpha_2
\\
\alpha_3
\\
\end{array}\right]
\in {\mathbb C}^3
\\
&
{\cal M}(\Omega_2)
\ni
\beta_1 \delta_{\omega_2^1} +\beta_2 \delta_{\omega_2^2}
\underset{同一視}{\longleftrightarrow}
\left[\begin{array}{ll}
\beta_1
\\
\beta_2
\\
\end{array}\right]
\in {\mathbb C}^2
\end{align*}
を考える．
このとき，
\begin{align*}
&
{\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) =
\beta_1\delta_{\omega_2^1}
+
\beta_2\delta_{\omega_2^1}
=
\left[\begin{array}{ll}
\beta_1
\\
\beta_2
\\
\end{array}\right],
\\
&
\rho_1
=
\alpha_1 \delta_{\omega_1^1} +\alpha_2 \delta_{\omega_1^2} +
\alpha_3 \delta_{\omega_1^3}
=
\left[\begin{array}{ll}
\alpha_1
\\
\alpha_2
\\
\alpha_3
\\
\end{array}\right]
\end{align*}
とおいて，
行列形式で書けば，
\begin{align*}
{\Phi}^*_{1,2} (\rho_1 ) =
\left[\begin{array}{ll}
\beta_1
\\
\beta_2
\\
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{12} & c_{13}
\\
c_{21} & c_{22} & c_{23}
\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}
\alpha_1
\\
\alpha_2
\\
\alpha_3
\\
\end{array}\right]
\end{align*}
次に，この双対因果作用素
${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}_{}(\Omega_1) \to {\cal M}_{}(\Omega_2)$
から，
因果作用素
$\Phi_{1,2}: L^\infty (\Omega_2, \nu_2) \to L^\infty (\Omega_1, \nu_1)$を構成しよう．
$\nu_1 (\{\omega_1^k\})=1$
$(\; k=1,2,3)$,
$\nu_2 (\{\omega_2^k\})=1$
$(\; k=1,2)$
としておく.
同一視：${L^\infty }(\Omega_1)
{\; \approx \;}
{\mathbb C}^3$，
${L^\infty }(\Omega_2) {\; \approx \;} {\mathbb C}^2$，
すなわち，
\begin{align*}
{L^\infty }(\Omega_1)
\ni
f_1
\underset{同一視}{\longleftrightarrow}
\left[\begin{array}{ll}
f_1 ( \omega_1^1)
\\
f_1 ( \omega_1^2)
\\
f_1 ( \omega_1^3)
\\
\end{array}\right]
\in {\mathbb C}^3,
\qquad
{L^\infty }(\Omega_2)
\ni
f_2
\underset{同一視}{\longleftrightarrow}
\left[\begin{array}{ll}
f_2 ( \omega_2^1)
\\
f_2 ( \omega_2^2)
\\
\end{array}\right]
\in {\mathbb C}^2
\end{align*}
を考える．
$f_2 \in L^\infty (\Omega_2)$，
$f_1 = \Phi_{1,2} f_2$として，
行列形式で書けば，
\begin{align*}
\left[\begin{array}{ll}
f_1(\omega_1^1)
\\
f_1(\omega_1^2)
\\
f_1(\omega_1^3)
\\
\end{array}\right]
=
f_1
=
\Phi_{1,2} (f_2 ) =
\left[\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{21}
\\
c_{12} & c_{22}
\\
c_{13} & c_{23} &
\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}
f_2(\omega_2^1)
\\
f_2(\omega_2^2)
\\
\end{array}\right]
\end{align*}
となる．
したがって，双対因果作用素${\Phi}^*_{1,2}$と
因果作用素$\Phi_{1,2}$
の関係は，
行列表現をもつ場合
(すなわち，
$\Omega_1$
と
$\Omega_2$
が有限集合
の場合
)
は「転置」の関係になる．
例 10.9[決定双対因果作用素，決定的因果写像，決定的因果作用素]
上の例から引き継いで，
双対因果作用素
${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}(\Omega_1)
({\approx} {\mathbb C}^3)
\to {\cal M}(\Omega_2)
({\approx} {\mathbb C}^2)
$
が，
たとえば，
行列形式で，
\begin{align*}
{\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) =
\left[\begin{array}{ll}
b_1
\\
b_2
\\
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1& 1
\\
1 & 0& 0
\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}
a_1
\\
a_2
\\
a_3
\\
\end{array}\right]
\end{align*}
と表現される場合は，決定双対因果作用素になる．
この
決定的因果作用素
$\Phi_{1,2}: C(\Omega_2) \to C(\Omega_1)$
を
行列形式で書けば，
\begin{align*}
\left[\begin{array}{ll}
f_1(\omega_1^1)
\\
f_1(\omega_1^2)
\\
f_1(\omega_1^3)
\\
\end{array}\right]
=
f_1
=
\Phi_{1,2} (f_2 ) =
\left[\begin{array}{ll}
0 & 1
\\
1& 0
\\
1 & 0 &
\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}
f_2(\omega_2^1)
\\
f_2(\omega_2^2)
\\
\end{array}\right]
\end{align*}
となる． もちろん， その決定的因果写像 $\phi_{1,2}: \Omega_1 \to \Omega_2$ は \begin{align*} \phi_{1,2}(\omega_1^1)= \omega_2^2, \quad \phi_{1,2}(\omega_1^2)= \omega_2^1, \quad \phi_{1,2}(\omega_1^3)= \omega_2^1 \quad \end{align*} で表される．
10.2.3: 因果作用素列─因果関係の連鎖
$(T,{{\; \leqq \;}})$ {{を}}木半順序集合, すなわち，半順序集合で，
任意の
$t_1, t_2, t_3 (\in T)$
に対して，
\begin{align*}
t_1 {{\; \leqq \;}}t_3,
\;\;
t_2 {{\; \leqq \;}}t_3
\Longrightarrow
t_1 {{\; \leqq \;}}t_2
\text{ または }
t_2 {{\; \leqq \;}}t_1
\end{align*}
を満たすとする．
$T^2_{\leqq}= \{ (t_1,t_2) \in T^2{}\; |\; t_1 {{\; \leqq \;}}t_2 \}$
とおく.
要素 $t_0 \in T$が，
条件：「$t_0 {{\; \leqq \;}}t$ ($\forall t \in T$)」
を満たすとき，$t_0 $を
$T$の
ルート
と呼ぶ．
このとき，
$(T,{{\; \leqq \;}})$
を
$(T(t_0),{{\; \leqq \;}})$
と書くこともある．
木半順序集合$T$が有限と仮定するならば,親写像$\pi{}: T \setminus \{ t_0 \} \to T$
を
$\pi (t{}) = \max \{ s \in T{}\; |\; s < t \}$
で定義できる．
ルート$t_0$
をもつ木半順序集合
$(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$
は，
対
$(T{{=}} \{ t_0,t_1,\ldots, t_N\} , \pi:
T \setminus \{ t_0 \} \to T)$
で表現することもある．
この表現$(T{{=}} \{ t_0,t_1,\ldots, t_N\} , \pi:
T \setminus \{ t_0 \} \to T)$
を，
$(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$
の{\bf 親写像表現}と呼ぶ．
図10.2
は,
$t_0$がルートで，
$\pi(t_3)=\pi(t_4)=t_2$，
$\pi(t_2)=\pi(t_5)=t_1$，
$\pi(t_1)=\pi(t_6)=\pi(t_7)=t_0$
の例である．
- Figure 10.2:Tree: $(T=\{t_0, t_1, ...,t_7\}, \pi: T \setminus \{t_0\} \to T )$
定義10.10 [因果作用素列; 因果関係のハイゼンベルグ描像]
$T$を木半順序集合とする.
各$ t \in T$に対して,
基本構造
\begin{align*}[ {\mathcal A}_t \subseteq \overline{\mathcal A}_t \subseteq B(H_t)]
\end{align*}
を考える.
{{}}族
$\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $
${
\overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$
$\Big($
または，
$\{$
${\overline{\mathcal A}_{t_2}
} \overset{\Phi_{t_1,t_2}}\to {\overline{\mathcal A}_{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$
とも記される
$\Big)$
は
次を満たすとき，
因果作用素列
(または，
因果関係列のハイゼンベルグ描像)
という(図10.3)：
| $\mbox{(i):}$ | 任意の$(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}$に対して, 因果作用素 $\Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}}$ が定義されて， $\Phi_{t_1,t_2} \Phi_{t_2,t_3} = \Phi_{t_1,t_3}$ $(\forall (t_1,t_2)$, $\forall (t_2,t_3) \in T^2_{\leqq})$ を満たす． ここに， $\Phi_{t,t} : {\overline{\mathcal A}_{t}} \to {\overline{\mathcal A}_{t}}$ は恒等作用素とする． |
定義10.11
(i):
[前双対因果作用素列; 因果関係のシュレーディンガー描像]
族
$\{ ({\Phi}_{t_1,t_2})_*{}: $
$
(\overline{\mathcal A}_{t_1})_* \to
(\overline{\mathcal A}_{t_1})_*
\}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$
を，
$\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $
${
\overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$
の
前双対因果作用素列
(または，
因果関係列のシュレーディンガー描像)
という．
(ii): [双対因果作用素列: 因果関係のシュレーディンガー描像] 族 $\{ {\Phi}^*_{t_1,t_2}{}: $ $ {\mathcal A}^\ast_{t_1} \to {\mathcal A}^\ast_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を， $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ の 双対因果作用素列} (または， 因果関係列のシュレーディンガー描像}) という．
シュレーディンガー描像 は直感的で手軽である。 シュレーディンガー描像$\{ {\Phi}^*_{t_1,t_2}{}: $ $ {\mathcal A}^\ast_{t_1} \to {\mathcal A}^\ast_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を考えて, $t_1 (\in T)$において, $C^*$-混合状態$\rho_{t_1} (\in {\frak S}^m({\mathcal A}_{t_1}^*)$を想定すれば,
| $\bullet$ | $ t_2 (\ge t_1) $ における$C^*$-混合状態$\rho_{t_2} (\in {\frak S}^m({\mathcal A}_{t_2}^*))$ は \begin{align*} \rho_{t_2}=\Phi_{t_1, t_2}^* \rho_{t_1} \end{align*} となる. |
| $\bullet$ | ハイゼンベルグ描像が正式で, シュレーディンガー描像は場合の手法 |
