10.6.1: 古典拡散過程
例 10.15 [酔歩]
状態空間$\Omega={\mathbb Z}=\{0,\pm1,\pm2,\ldots\}$を考える.
個数測度$\nu$を仮定しておこう.ここで，
因果作用素$\Phi: L^\infty({\mathbb Z}) \to L^\infty({\mathbb Z})$
を
\begin{align*}
[\Phi ( f ) ](i)= \frac{f({i-1}) + f({i+1})}{2}
\qquad
(\forall f \in L^\infty({\mathbb Z}),
\forall i \in {\mathbb Z})
\end{align*}
で定める．
マルコフ双対因果作用素${\Phi}^*: {\cal M}_{+1}({\mathbb Z}) \to {\cal M}_{+1}({\mathbb Z})$
を，
点測度$\delta_{(\cdot )}
(\in
{\cal M}_{+1}({\mathbb Z})
)$を使って，次のように定める：
\begin{align*}
{\Phi^*}( \delta_i ) = \frac{\delta_{i-1} + \delta_{i+1}}{2}
\qquad
(i \in {\mathbb Z})
\end{align*}
これは,明らかに,「非決定的」である.
ここで，
離散時間$T=\{0,1,2,\ldots,N\}$を考えて，
親写像$\pi: T \setminus \{0\} \to T$
を
$\pi(t) = t-1$
とする．
各$t (\in T )$
に対して，
状態空間$\Omega_t$
を$\Omega_t= {\mathbb Z}$
で定める．このとき，
- 因果作用素列 $\{ \Phi_{\pi(t), t }(=\Phi ){}: $ ${L^\infty (\Omega_t)} \to {L^\infty (\Omega_{\pi(t)})} \}_{ t \in T\setminus \{0\} }$
を得る． これは， 酔歩 ─ 酔っ払いが，左右にフラフラしながら歩いている様 ─ の測定理論的表現である.
10.6.2: 量子デコヒーレンス: 非決定的因果作用素
基本構造 $[{\mathcal C}(H),B(H)]_{B(H)}$ を考える. $B(H)$内のスペクトル分解${\mathbb P}=[P_n ]_{n=1}^\infty$, すなわち,
\begin{align*} P_n \mbox{は射影作用素で}, \sum_{n=1}^\infty P_n =I \end{align*} とする. 写像$(\Psi_{\mathbb P})_*: {\mathcal Tr}(H) \to {\mathcal Tr}(H)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |) = \sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} 明らかに, \begin{align*} \langle v, (\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |) v \rangle = \langle v, (\sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u |) v \rangle =\sum_{n=1}^\infty |\langle v, |P_n u \rangle |^2 \ge 0 \qquad (\forall u,v \in H ) \end{align*} しかも, \begin{align*} & \mbox{Tr}((\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |)) \\ = & \mbox{Tr} (\sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u |) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty |\langle e_k , P_n u \rangle|^2 = \sum_{n=1}^\infty \| P_n u \|^2 = \|u\|^2 \qquad (\forall u \in H ) \end{align*} よって, \begin{align*} (\Psi_{\mathbb P})_* ({\mathcal Tr}_{+1}^p(H)) \subseteq {\mathcal Tr}_{+1}(H) \end{align*}したがって, $\Psi_{\mathbb P} (=((\Psi_{\mathbb P})_*)^*): B(H) \to B(H)$ は因果作用素であるが, 決定的因果作用素ではない. このような「非決定的因果作用素(列)」のことを, 量子デコヒーレンス と呼ぶ.
注意10.16 [量子デコヒーレンス]
さらに, ハミルトニアン${\mathcal H}$ (cf. (10.23)式 )に関する 時間発展作用素$(\Psi_S^{\Delta t})_* : Tr(H) \to Tr(H)$を次のように定める： \begin{align*} (\Psi_S^{\Delta t})_* (|u \rangle \langle u |) = |e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}}u \rangle \langle e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}} u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} 時刻$t=0,1$とする. $\Delta t = \frac{1}{N}$, $H=H_0=H_1$,とおいて, 写像 $(\Phi_{0,1}^{(N)})_*: Tr(H_0) \to Tr(H_1)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Phi_{0,1}^{(N)})_* =\Big((\Psi_S^{1/N})_* (\Psi_{\mathbb P})_* \Big)^N \end{align*} ここで、 $\Phi_{0,1}^{(N)} =((\Phi_{0,1}^{(N)})_*)^*$として, マルコフ作用素 $\Phi_{0,1}^{(N)} : B(H_1) \to B(H_0)$ を定義する. このマルコフ作用素は、 $\S$11.3(量子ゼノン効果)で再考する。
