11.4: 量子ゼノン効果:「見ていると餅はなかなか焼けない」わけではない

基本構造 $[{\mathcal C}(H),B(H)]_{B(H)}$ を考える. $B(H)$内のスペクトル分解${\mathbb P}=[P_n ]_{n=1}^\infty$, 　すなわち, \begin{align*} P_n \mbox{は射影作用素で}, \sum_{n=1}^\infty P_n =I \end{align*} とする. 写像$(\Psi_{\mathbb P})_*: Tr(H) \to Tr(H)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |) = \sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} 明らかに, \begin{align*} \langle v, (\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |) v \rangle = \langle v, (\sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u |) v \rangle =\sum_{n=1}^\infty |\langle v, |P_n u \rangle |^2 \ge 0 \qquad (\forall u,v \in H ) \end{align*} しかも, \begin{align*} & \mbox{Tr}((\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |)) \\ = & \mbox{Tr} (\sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u |) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty |\langle e_k , P_n u \rangle|^2 = \sum_{n=1}^\infty \| P_n u \|^2 = \|u\|^2 \qquad (\forall u \in H ) \end{align*} よって, \begin{align*} (\Psi_{\mathbb P})_* ({\mathcal Tr}_{+1}^p(H)) \subseteq {\mathcal Tr}_{+1}(H) \end{align*} したがって,

例 11.8 [量子デコヒーレンスと量子ゼノン効果] 因果作用素 $(\Psi_S^{\Delta t})_* : {\mathcal Tr}(H) \to {\mathcal Tr}(H)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Psi_S^{\Delta t})_* (|u \rangle \langle u |) = |e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}}u \rangle \langle e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}} u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} ここに、ハミルトニアン${\mathcal H}$ (cf.(10.23) ) は以下のように定める： \begin{align*} {\mathcal H} = \Big[ \frac{- \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2 } + V( {q}, t ) \Big] \end{align*} ${\mathbb P}=[P_n ]_{n=1}^\infty$ を$B(H)$内のスペクトル分解とする。 すなわち、 各$n$に対して, $P_n \in B(H)$は次を満たす射影作用素： \begin{align*} \sum_{n=1}^\infty P_n =I \end{align*} ここで、 $(\Psi_{\mathbb P})_*: {\mathcal Tr}(H) \to {\mathcal Tr}(H)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Psi_{\mathbb P})_* (|u \rangle \langle u |) = \sum_{n=1}^\infty |P_n u \rangle \langle P_n u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} また、シュレーディンガー描像による時間発展 $(\Psi_S^{\Delta t})_* : {\mathcal Tr}(H) \to {\mathcal Tr}(H)$ を以下のように定める： \begin{align*} (\Psi_S^{\Delta t})_* (|u \rangle \langle u |) = |e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}}u \rangle \langle e^{-\frac{i {\mathcal H} \Delta t}{\hbar}} u | \quad (\forall u \in H) \end{align*} ここに、 ${\mathcal H}$はハミルトニアン(10.22)とする. 時刻$t=0,1$を考えて、 $\Delta t = \frac{1}{N}$, $H=H_0=H_1$と置いて、 前共役因果作用素 $(\Phi_{0,1}^{(N)})_*: Tr(H_0) \to Tr(H_1)$ を次のように定める： \begin{align*} (\Phi_{0,1}^{(N)})_* =((\Psi_S^{1/N})_* (\Psi_{\mathbb P})_*)^N \end{align*} これの共役作用素$\Phi_{0,1}^{(N)} =((\Phi_{0,1}^{(N)})_*)^*$から、因果作用素 $\Phi_{0,1}^{(N)} : B(H_1) \to B(H_0)$。 $\rho=|\psi \rangle \langle \psi |$を時刻$0$における初期状態とする。 $B(H_1)$内の観測量 $ {\mathsf{O}_1}{\; :=} (X, {\cal F}, F)$を固定して、 ハイゼンベルグ描像によって、 \begin{align*} \overset{\rho=|\psi \rangle \langle \psi |}{\fbox{$B(H_0)$}} \xleftarrow[\Phi_{0,1}^{(N)}]{} \underset{ {\mathsf{O}_1}{\; :=} (X, {\cal F}, F) }{\fbox{$B(H_1)$}} \end{align*} 次の測定を得る。 \begin{align*} {\mathsf{M}}_{B(H_0)} (\Phi_{0,1}^{(N)} {\mathsf{O}_1}, S_{[\rho]}) \big( \mbox{もうすこし正確に書くと、} {\mathsf{M}}_{B(H_0)} (\Phi_{0,1}^{(N)}{\mathsf{O}}{\; :=} (X, {\cal F}, \Phi_{0,1}^{(N)}F), S_{[|\psi \rangle \langle \psi |]}) \big) \end{align*} ここで, 言語ルール 1($\S$2.7) によれば、

例 11.9[量子ゼノン効果] $\psi \in H$ ($\|\psi \|=1$) を固定する。 スペクトル分解を \begin{align} {\mathbb P}=[ P_1 (=|\psi \rangle \langle \psi |), P_2(=I-P_1) ] \tag{11.14} \end{align}

と定める。 さらに、$B(H_1)$内の観測量 $ {\mathsf{O}_1}{\; :=} (X, {\cal F}, F)$ を次のように定める： \begin{align*} X=\{ x_1 , x_2 \}, \qquad {\cal F}=2^X \end{align*} かつ \begin{align*} F(\{x_1 \})=|\psi \rangle \langle \psi |(=P_1), F(\{x_2 \})=I- |\psi \rangle \langle \psi |(=P_2), \end{align*} さて、式(11.10)(i.e., 測定値$x_1$が得られる確率)を計算しよう。 \begin{align} (11.10) &= \langle \psi, ((\Psi_S^{1/N})_* (\Psi_{\mathbb P})_*)^N (|\psi \rangle \langle \psi |) \psi \rangle \nonumber \\ & \ge |\langle \psi , e^{-\frac{i {\mathcal H} }{\hbar N}}\psi \rangle \langle \psi , e^{\frac{i {\mathcal H} }{\hbar N}}\psi \rangle|^N \nonumber \\ & \approx \Big(1 - \frac{1}{N^2} \big( || (\frac{ {\mathcal H} }{\hbar }) \psi ||^2 - |\langle \psi, (\frac{ {\mathcal H} }{\hbar }) \psi \rangle |^2 \big) \Big)^N \to 1 \nonumber \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad ( N \to \infty) \tag{11.15} \end{align} したがって、, 十分大きな$N$に対しては、 \begin{align} {\mathsf{M}}_{B(H_0)} (\Phi_{0,1}^{(N)} {\mathsf{O}_1}, S_{[|\psi \rangle \langle \psi |]}) & \approx {\mathsf{M}}_{B(H_0)} (\Phi_I {\mathsf{O}_1}, S_{[|\psi \rangle \langle \psi |]}) \end{align} ここに、$\Phi_I:B(H_1) \to B(H_0)$は恒等作用素}) \begin{align} & = {\mathsf{M}}_{B(H_0)} ( {\mathsf{O}_1}, S_{[|\psi \rangle \langle \psi |]}) \end{align} よって、 シュレーディンガー描像で言うならば、

• 状態$|\psi \rangle \langle \psi |$は動かない.

11.10: 注意 上の議論はB. MisraとE.C.G. Sudarshan による。しかしながら、彼らの論文のタイトル"The Zeno's paradox in quantum theory"は魅力的であるが正確ではない。 なぜならば、