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「シュレーディンガーの猫」のパラドックスを, シュレーディンガー描像の下に説明する.
「シュレーディンガーの猫」 は 量子力学で最も有名なパラドックスである. これを問題形式で説明する.

問題11.11 [シュレーディンガーの猫]

$(a):$ 箱の中に猫を入れておく. 放射性元素,ガイガーカウンター,毒ガスの入っている小さい箱も入れておく. 1時間後に放射性元素からは放射能が出る可能性は 半々 とする. もし放射能が出ると,ガイガーカウンターが 鳴って,それが引き金になって 毒ガスの入っている小さい箱の扉が開く. そうすれば,毒ガスが充満して,必然的に猫が死ぬという 仕掛けである. また,放射能が出なければ,猫は 元気に生きているというわけである. もちろん,箱の窓は閉じているので,あなたは猫がどうなっているのか を知らない。

さて,ここで次の問題を考えよう:
$(b):$ 一時間後に、あなたが箱の中を見たとして,猫はどうなっているのだろうか? 生きているのか? 死んでいるのか? もちろん, 「半々」 に違いないが,この 「半々」 の意味を明確にせよ.


$\fbox{注釈11.1}$ [ウィグナーの友人]: 上の(b)の代わりに
$(b'):$ 一時間後に、「ウィグナーの友人」が箱の中を見たとして,それを さらに一時間後にあなたに伝えたとする。 「ウィグナーの友人」が箱の中を見たときとか それを「ウィグナーの友人」があなたに伝えたときとかに、 猫はどうなっているのだろうか?
一見、難問と思うかもしれないが、言語的解釈では「測定した瞬間」という概念がないのだから、(b$'$)は量子言語で記述できない。 言語的科学観の精神(ウィトゲンシュタインの言葉)
  • The limits of my language mean the limits of my world
    (言語の限界が世界の限界)
とか
  • What we cannot speak about we must pass over in silence
    (語り得ぬことには、沈黙せねばならない)
を思い出そう。

11.5.2: 通常の解答

解答 11.12 [通常の解答 (i.e.,量子言語を使わない解答)].
${\mathbf q}=(q_{11}, q_{12}, q_{13}, q_{21},q_{22}, q_{23}, \dots, q_{n1},q_{n2}, q_{n3} ) \in {\mathbb R}^{3n} $として, \begin{align*} \nabla_i^2 = \frac{\partial^2}{\partial q_{i1}^2} + \frac{\partial^2}{\partial q_{i2}^2} + \frac{\partial^2}{\partial q_{i3}^2} \end{align*} と定めて,量子系の基本構造: \begin{align*} {\mathcal C}(H) \subseteq B(H) \subseteq B(H) \qquad \mbox{ ( ここで,$H=L^2 ( {\mathbb R}^{3n}, d {\mathbf q} )$とする )} \end{align*} 内で,多粒子系($n$個の粒子系)のシュレーディンガー方程式: \begin{align} \begin{cases} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi ( {\mathbf q}, t ) = \Big[ \sum_{i=1}^n \frac{- \hbar^2}{2m_i} \nabla_i^2 + V( {\mathbf q}, t ) \Big] \psi ( {\mathbf q}, t ) \\ \\ \psi_0({\mathbf q})=\psi ( {\mathbf q}, 0 ): \mbox{初期条件} \end{cases} \tag{11.16} \end{align} を考える.ここに,$m_i$は粒子$P_i$の質量,$V$はポテンシャルエネルギーとする.

量子力学を 信じるとしたならば,上のシュレーディンガー方程式(11.16)を解けばよい. すなわち,

$(A_1):$ 一時間後($t=60^2$秒後)の$\psi( {\mathbf q}, 60^2 )$が計算できたとしよう. したがって,一時間後の箱の中の状態は, $\rho_{60^2}$ $(\in {\mathcal Tr}_{+1}^p (H) )$ は \begin{align} \rho_{60^2}= | \psi_{60^2} \rangle \langle \psi_{60^2} | \tag{11.17} \end{align} となる (ここに, $ \psi_{60^2} = \psi(\cdot , 60^2 ) $).

さて,$B(H)$内の次は観測量${\mathsf O}= (X=\{生, 死\}, 2^X, F)$を次のように定める.

$(A_2):$ つまり, \begin{align*} & V_{生} (\subseteq H ) = \Big\{ u\in H \;|\; "箱内の状態は\frac{|u\rangle \langle u |}{\|u\|^2}" \Leftrightarrow \mbox{"猫は生きている”} \Big\} \\ & V_{死} (\subseteq H )=V_{生}\mbox{の直交補空間} \end{align*} として, $F(\{生\})(\in B(H) )$は閉部分空間$V_{生}$への射影作用素,また,$F(\{死\})=I - F(\{生\})$, すなわち, 閉部分空間$V_{死}$への射影作用素 と定める.
ここで,
$(A_3):$ 測定${\mathsf M}_{B(H)}({\mathsf O}=(X, 2^X, F), S_[\rho_{60^2}])$を考える. 測定値 「生」,「死」を得る確率は, 「半々」 なのだから, \begin{align*} & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho_{60^2}, F(\{生\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{生\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \\ & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho_{60^2}, F(\{死\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{死\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \end{align*} となるはずである.
そうだとしたら, \begin{align} & \psi_{60^2}= \frac{1}{\sqrt 2}( \psi_{生}+ \psi_{死}) \tag{11.18} \\ (ここに, & \psi_{生}\in V_{生},\|\psi_{生}\|=1 \quad \psi_{死}\in V_{死},\|\psi_{死}\|=1 ) \nonumber \end{align} と表現されるはずである. 次が結論できる.
$(A4):$ 一時間後に,猫は「(11.18)式の意味で半死半生」の状態である。 誤解を恐れずに書くならば, \begin{align*} \frac{ \text{" 図$(\sharp_1)$"} + \text{" 図($\sharp_2$)"} }{\sqrt{2}} \end{align*} のような状態である.

そして,
$(A5):$ 一時間後に,箱の窓を開けて中を見た瞬間(すなわち,測定した瞬間)に, 「元気に生きている」か 「死んでいる」かのどちらかが決定する.すなわち, \begin{align*} 半死半生(=\frac{1}{2}(|\psi_{生}+ \psi_{死}\rangle \langle \psi_{生}+ \psi_{死}|)) \xrightarrow[\textcolor{red}{波動関数の収縮が起きる}]{\textcolor{red}{測定した瞬間に}} \begin{cases} 元気に生きている(=|\psi_{生}\rangle \langle \psi_{生}|) \\ \\ 死んでいる(=|\psi_{死}\rangle \langle \psi_{死}|) \end{cases} \end{align*}
となる.
$\square \quad$

11.5.3: 量子言語による解答
解答 11.13 [量子言語による解答]
量子言語では量子デコヒーレンスを認めるので,,
$(B_1):$ 時間発展して,一時間後には $ \rho'_{60^2} $ は, \begin{align*} \rho'_{60^2} = \frac{1}{2} \Big( | \psi_{生} \rangle \langle \psi_{生} | + | \psi_{死} \rangle \langle \psi_{死} | \Big) \end{align*} のような混合状態になったとしてもよい.
ここで,
$(B_2):$ 測定${\mathsf M}_{B(H)}({\mathsf O}=(X, 2^X, F), S_{[\ast]}(\rho'_{60^2}))$を考える. 測定値 「生」,「死」を得る確率は, \begin{align*} & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho'_{60^2}, F(\{生\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{生\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \\ & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho'_{60^2}, F(\{死\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{死\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \end{align*} となる.

もっと正確には, 非決定的因果作用素 $\Phi: B(H) \to B(H)$ を $$ (\Phi)_* \rho_0 = \rho'_{60^2} $$ のように定めて、
$(B_3):$ 測定${\mathsf M}_{B(H)}(\Phi{\mathsf O}=(X, 2^X, \Phi F), S_{[\rho_0]})$を考える. 測定値 「生」,「死」を得る確率は, \begin{align*} & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho_{0}, \Phi F(\{生\}) \Big){}_{B(H)}= {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho'_{60^2}, F(\{生\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{生\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \\ & {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho_{0}, \Phi F(\{死\}) \Big){}_{B(H)}= {}_{{\mathcal Tr}(H)} \Big(\rho'_{60^2}, F(\{死\}) \Big){}_{B(H)}=\langle \psi_{60^2},F(\{死\})\psi_{60^2} \rangle=0.5 \end{align*} となる.

また,

「測定した瞬間」とか「波動関数の収縮」とかは,量子言語では禁忌であるが,($B_3$)は言える.

$\square \quad$

11.5.4: 要約 (Laplace's demon)
要約 11.14 [シュレーディンガーの猫の量子言語的総括]

さて,
  • 解答11.12(通常解答) v.s. 解答11.13(量子言語による解答)
を検討しよう.
$(C_1):$ 通常の解答(A5)を主張して,頑張れば頑張り切る
としても,やはり気が引ける. 妥当な線としては,次だろう.
$(C_2):$ いかなる理論にも,「適用範囲」ある. たとえば,
$\bullet$ ニュートン力学を宇宙全体に適用すれば,「ラプラスも魔( cf. 注釈12.1 )」 になって,無理が生じる. ニュートン力学を微細な世界に適用すれば,カオスが発生して,訳がわからない現象が現れる.これらは,ニュートン力学の適用範囲外
が妥当と考える.
$\bullet$ 適用範囲外の場合の有効な対処法としては,ブラウン運動(確率微分方程式)を用いる方法であるが,これはニュートン力学を拡大解釈して(すなわち,動的システム理論と考えて),すでに物理学からは離れた理論であることに注意すべきである.すなわち, \begin{align} \underset{\mbox{物理学}}{ \fbox{ニュートン力学} } \xrightarrow[\mbox{言語的転回}]{\mbox{適用範囲外}} \underset{\mbox{形而上学}}{ \fbox{動的システム理論;統計学} } \tag{11.19} \end{align}
そうだとしたら, 量子力学にも「適用範囲」があると考えるのは自然だろう.すなわち,
$\bullet$ シュレーディンガの猫は量子力学(特に,シュレーディンガー方程式)の適用範囲外
が妥当と考える.
$\bullet$ 適用範囲外の場合の有効な対処法としては,($B_3$)のような量子デコヒーレンスを用いる方法であるが,これは量子力学を拡大解釈して(すなわち,量子システム理論と考えて),すでに物理学からは離れた理論であることに注意すべきである.
以上, ($C_1$)でもよいが,($C_2$)を推奨したい.なぜならば,
$(C_3):$ 次の二つの理論:
$\bullet$ ニュートン力学を拡大解釈して(すなわち,動的システム理論と考えて),すでに物理学からは離れた理論
$\bullet$ 量子力学を拡大解釈して(すなわち,量子システム理論と考えて),すでに物理学からは離れた理論
を一つに統合した理論こそ,量子言語だからである.
以上のように, シュレーディンガーの猫は,量子言語が無くては,解決しないと考えるので, ($C_2$)を推奨したい.


$\fbox{注釈11.3}$ [ラプラスの魔]: 宇宙全体のすべての物体の運動でも 国の経済成長でも, 所詮は,(無限に近い)多数の粒子系の運動方程式で 厳密に記述できて,しかも, それを解析することができる知性が存在するならば, この知性にとっては, 不確実なことは何もなくなり,その目には未来も過去も 全て見えていると考えて, このような「知性」のことを ラプラスの魔 と呼ぶ. ラプラスの魔は, 「度が過ぎた実在的科学観 (すなわち,極端な物理至上主義)」 の象徴として, しばしば議論される.すなわち、 \begin{align} \underset{\mbox{物理学}}{ \fbox{ニュートン力学} } \xrightarrow[\mbox{極端な物理至上主義}]{\mbox{適用範囲外}} \underset{\mbox{物理学?}}{ \fbox{ラプラスの魔} } \tag{11.20} \end{align} で、これと式(11.19)は比較されるべきであるが、科学の常識は、式(11.19)を選んだ。
}