11.6: ウィーラーの遅延選択実験:「粒子か？　波か？」は愚問

この節は、次の論文からの抜粋である：

旧来の量子力学では、 「粒子か波か？」という問いかけが頻繁にされている。 しかし、 次表に見るように この問いかけは愚問である。

この表11.1 で、一番理解し易いのは、ニュートン力学 (i.e., 質点 $\leftrightarrow$ 状態) である。 これが分かれば、他も容易に理解できると思う。 量子力学では、 「粒子か波か？」という問いかけが、 ウィーラーの遅延選択測定との関係で議論されることが多い。 したがって、 この節では、

11.6.2: 準備

$H$を2次元ヒルベルト空間, すなわち, $H={\mathbb C}^2$ とする. ここで, 基本構造$[{\mathcal C}(H), B(H )]_{B(H )}]$を \begin{align*} [{\mathcal C}(H ), B(H )]_{B(H)} = [B({\mathbb C}^2), B({\mathbb C}^2 )]_{B({\mathbb C}^2 )} \end{align*} と定める. $f_1, f_2 \in H$ を \begin{align*} f_1 = \left[\begin{array}{ll} 1 \\ 0 \end{array}\right], \qquad f_2 = \left[\begin{array}{ll} 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{align*} とする. さて, \begin{align*} u=\frac{f_1 +f_2}{{\sqrt 2}} \end{align*} として, 状態 $\rho = |u \rangle \langle u |$ $(\in {\frak S}^p(B({\mathbb C}^2)))$ を固定する. ユニタリ作用素$U (\in B({\mathbb C}^2 ))$は次を満たすとする. \begin{align*} U ((\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2)) = \alpha_1 f_1 + \alpha_2 {\sqrt{-1}}f_2 \end{align*} 因果作用素$\Phi: B({\mathbb C}^2 ) \to B({\mathbb C}^2 ) $ を \begin{align*} \Phi (F ) = U^* F U, \qquad (\forall F \in B({\mathbb C}^2) ) \end{align*} とする. すなわち, \begin{align*} B({\mathbb C}^2) \ni \Phi (F )= U^* F U \;\; {\longleftarrow \! \shortmid}\;\; F \in B({\mathbb C}^2) \end{align*} とする. ここで, $B({\mathbb C}^2 )$内の二つの観測量 ${\mathsf O}_f=(\{1,2\}, 2^{\{1,2\}}, F)$ と ${\mathsf O}_g=(\{1,2\}, 2^{\{1,2\}}, G)$ を次のように定める. \begin{align*} & F(\{1\}) = |f_1 \rangle \langle f_1 | , \quad F(\{ 2 \}) = |f_2 \rangle \langle f_2 | \end{align*} と \begin{align*} & G(\{1\}) = |g_1 \rangle \langle g_1 | , \quad G(\{ 2 \}) = |g_2 \rangle \langle g_2 | \end{align*} ここで, \begin{align*} & g_1 = \frac{f_1 + f_2 }{\sqrt{2}}, \qquad g_2 = \frac{f_1 - f_2 }{\sqrt{2}} \end{align*}
11.6.3: ド・ブロイのパラドックスの$B({\mathbb C}^2)$版(干渉なし)

上図の気分をシュレーディンガー描像で説明しよう. 状態$u=\frac{1}{\sqrt{2}}( f_1+f_2 )$ (正確には, $\rho=|u \rangle \langle u |$ )を持つ光子$P$がハーフミラー1に突入するとしよう.

結局,光子カウンター$D_1$と$D_2$のいずれか一方が,半々の確率で, カウントされることになる.

Remark 11.18 [Projection postulate]

時空と量子もつれに密接な関係があると仮定して、 図11.4(1)は次図のように書き直す。すなわち、 $e_1= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ and $e_2= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ $( \in {\mathbb C}^2 )$, $( \in {\mathbb C}^2 )$と置いて、 $B({\mathbb C}^2)$内の観測量${\mathsf O}_E=(\{1,2\},2^{\{1,2\}}, E)$ を$E( \{1 \})=|e_1 \rangle \langle e_1$、$E( \{1 \})=|e_1 \rangle \langle e_1$と定める。

11.6.4: マッハ＝ツェンダー干渉計(干渉あり)

上図の気分をシュレーディンガー描像で説明しよう. 状態$u=\frac{1}{\sqrt{2}}( f_1+f_2 )$(正確には, $\rho=|u \rangle \langle u |$ )を持つ光子$P$がハーフミラー1に突入するとしよう.

結局,光子カウンター$D_1$が カウントされることになる.

上図の気分をシュレーディンガー描像で説明しよう. 状態$u=\frac{1}{\sqrt{2}}( f_1+f_2 )$(正確には, $\rho=|u \rangle \langle u |$ )を持つ光子$P$がハーフミラー1に突入するとしよう.

上述は「ウィーラーの遅延選択実験」と言われる有名なパラドックスで, すなわち、

• ウィーラーの説明を聞くと,遅延選択実験のパラドックスに納得してしまうかもしれない

• 上の$(\sharp)$は、「盛り過ぎ」の説明である