この節は、以下の論文からの抜粋である。

$(\sharp):$ S. Ishikawa, double-slit quantum eraser experimentsとHardy's paradox in quantum linguistic interpretation, arxiv:1407.5143[quantum-ph],( 2014)

11.7.1: テンソルヒルベルト空間

${\mathbb C}^2$を二次元ヒルベルト空間とする. すなわち, ${\mathbb C}^2$ $=$ $ \Big\{ \left[\begin{array}{ll} z_1 \\ z_2 \\ \end{array}\right] \;| \; z_1, z_2 \in {\mathbb C} \Big\}$. And put \begin{align*} e_1 =\left[\begin{array}{ll} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right], \qquad e_2 =\left[\begin{array}{ll} 0 \\ 1 \\ \end{array}\right] \end{align*} $B({\mathbb C}^2)$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_x=(\{-1, 1 \}, 2^{\{-1, 1 \}}, F_x )$ を次のように定める. \begin{align*} F_x(\{ 1 \} ) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right], \quad F_x(\{ -1 \} ) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{array}\right], \end{align*} 次は,明らか. \begin{align*} & F_x(\{ 1 \} )e_1 = \frac{1}{2}(e_1 + e_2 ), \quad F_x(\{ 1 \} )e_2 = \frac{1}{2}(e_1 + e_2 ) \\ & F_x(\{ -1 \} )e_1 = \frac{1}{2}(e_1 - e_2 ), \quad F_x(\{ -1 \} )e_2 = \frac{1}{2}(-e_1 + e_2 ) \end{align*} また,$B({\mathbb C}^2)$内の存在観測量 ${\mathsf O}_E=(\{ 1 \}, 2^{\{ 1 \}}, F_E )$ をいつものように,次で定める. \begin{align*} F_E(\{ 1 \} ) = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \qquad F_E(\emptyset ) = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] \end{align*} $H$をヒルベルト空間とする. たとえば, \begin{align*} H=L^2({\mathbb R}_q ) = \Big\{ u: {\mathbb R}_q \to {\mathbb C } \;\Big|\; \Big[\int_{{\mathbb R}_q } |u (q ) |^2 dq\Big]^{1/2} < \infty \Big\} \end{align*} とする. $B(H)$内の観測量 ${\mathsf O}=(X, {\mathcal F}, F)$を考える. たとえば,$H=L^2({\mathbb R}_q )$, $X={\mathbb R}$, ${\mathcal F}={\mathcal B}_{\mathbb R}$ として, \begin{align*} [F(\Xi)] (q) =\begin{cases} 1 \qquad & (q \in \Xi \in {\mathcal F} ) \\ 0 \qquad & (q \notin \Xi \in {\mathcal F}) \end{cases} \end{align*} とする. $u_1, u_2 \in H$を正規直交系とする. すなわち, \begin{align*} ||u_1 ||_H = ||u_2 ||_{H} = 1, \quad \langle u_1, u_2 \rangle_H = 0 \end{align*} とする.
テンソルヒルベルト空間${\mathbb C}^2 \otimes H $ を考える. さて, $\psi \in {\mathbb C}^2 \otimes H $ $($ を次のように定める. \begin{align*} \psi = \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2 \end{align*} ここに,$\alpha_i \in {\mathbb C}$, $| \alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2=1$.

11.7.2: 干渉あり


次の測定を考える： \begin{align} {\mathsf M}_{B({\mathbb C}^2 \otimes H )} ({\mathsf O}_x \otimes {\mathsf O} , S_{[| \psi \rangle \langle \psi |]} ) \tag{11.27} \end{align} 言語ルール1(測定)より
$(A_1):$ 測定値 $(1, x ) (\in \{-1,1\} \times X )$ が, $ \{1\} \times \Xi $ に属する確率は,次のように計算できる：
\begin{align*} & \langle \psi, (F_x(\{ 1 \}) \otimes F(\Xi) ) \psi \rangle \\ = & \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, (F_x(\{ 1 \} \otimes F(\Xi) )) ( \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2 ) \rangle \\ = & \frac{1}{2} \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, \alpha_1 (e_1+e_2) \otimes F(\Xi) u_1 + \alpha_2 (e_1+ e_2) \otimes F(\Xi) u_2 \rangle \\ = & \frac{1}{2} \Big( |\alpha_1|^2 \langle u_1 , F(\Xi)u_1 \rangle + |\alpha_2|^2 \langle u_2 , F(\Xi)u_2 \rangle + \overline{\alpha}_1\alpha_2 \langle u_1 , F(\Xi)u_2 \rangle + {\alpha}_1 \overline{\alpha}_2 \langle u_2 , F(\Xi)u_1 \rangle \Big) \\ = & \frac{1}{2} \Big( |\alpha_1|^2 \langle u_1 , F(\Xi)u_1 \rangle + |\alpha_2|^2 \langle u_2 , F(\Xi)u_2 \rangle + 2 \mbox{[Real part]} ( \overline{\alpha}_1\alpha_2 \langle u_1 , F(\Xi)u_2 \rangle ) \Big) \\ \end{align*}

ここに, 第三項(干渉項) に注意せよ.さらに,次のように確率密度関数$\rho_1$を定める

\begin{align*} =: & \int_{\Xi} \rho_1 (q ) dq \qquad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \end{align*}


また,次を得る.

$(A_2):$ 測定値 $(-1, x ) (\in \{-1,1\} \times X )$ が, $ \{1\} \times \Xi $ に属する確率は,次のように計算できる：
\begin{align*} & \langle \psi, (F_x(\{ -1 \}) \otimes F(\Xi) ) \psi \rangle \\ = & \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, (F_x(\{ -1 \} \otimes F(\Xi) )) ( \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2 ) \rangle \\ = & \frac{1}{2} \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, \alpha_1 (e_1-e_2) \otimes F(\Xi) u_1 + \alpha_2 (-e_1+ e_2) \otimes F(\Xi) u_2 \rangle \\ = & \frac{1}{2} \Big( |\alpha_1|^2 \langle u_1 , F(\Xi)u_1 \rangle + |\alpha_2|^2 \langle u_2 , F(\Xi)u_2 \rangle - \overline{\alpha}_1\alpha_2 \langle u_1 , F(\Xi)u_2 \rangle - {\alpha}_1 \overline{\alpha}_2 \langle u_2 , F(\Xi)u_1 \rangle \Big) \\ = & \frac{1}{2} \Big( |\alpha_1|^2 \langle u_1 , F(\Xi)u_1 \rangle + |\alpha_2|^2 \langle u_2 , F(\Xi)u_2 \rangle - 2 \mbox{[Real part]} ( \overline{\alpha}_1\alpha_2 \langle u_1 , F(\Xi)u_2 \rangle ) \Big) \end{align*}

ここに, 第三項(干渉項) に注意せよ.さらに,次のように確率密度関数$\rho_2$を定める

\begin{align*} =: & \int_{\Xi} \rho_2 (q ) dq \qquad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \end{align*}
11.7.3: 干渉なし

次の測定測定: \begin{align} {\mathsf M}_{B({\mathbb C}^2 \otimes H )} ({\mathsf O}_E \otimes {\mathsf O} , S_{[| \psi \rangle \langle \psi |]} ) \tag{11.29} \end{align} を考える. 言語ルール1(測定)から,
$(A_3):$ 測定値 $(1, x ) (\in \{1\} \times X )$ が $ \{1\} \times \Xi $ に属する確率は
\begin{align*} & \langle \psi, (I \otimes F(\Xi) ) \psi \rangle \\ = & \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, (I \otimes F(\Xi) ) ( \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2 ) \rangle \\ = & \langle \alpha_1 e_1 \otimes u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes u_2, \alpha_1 e_1 \otimes F(\Xi) u_1 + \alpha_2 e_2 \otimes F(\Xi) u_2 \rangle \\ = & |\alpha_1|^2 \langle u_1 , F(\Xi)u_1 \rangle + |\alpha_2|^2 \langle u_2 , F(\Xi)u_2 \rangle \\ \end{align*}

ここに, 第三項(干渉項) が無いことに注意せよ.さらに,次のように確率密度関数$\rho_3$を定める

\begin{align*} =: & \int_{\Xi} \rho_3 (q ) dq \qquad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \end{align*}




注意11.17

上で \begin{align*} \overset{{\mbox{(A$_3$)}}}{\underset{\mbox{干渉項なし}}{\fbox{$\quad \rho_3 \quad$}}} = \overset{{\mbox{(A$_1$)+(A$_2$)}}}{\underset{\mbox{干渉項が相殺}}{\fbox{$\quad \rho_1$+$\rho_2 \quad$}}} \end{align*} に注意せよ.