二元論的言語(量子言語=測定理論) では, 言語ルール2(因果関係)が単独で使われることはなくて, 常に言語ルール1(測定)と組みになっている. なぜならば,同じ意味で,

$(A_1):$ 測定してみなければ,なにもわからない
$(A_2):$ 存在するとは,知覚されること (by George Berkeley(1685年 - 1753年))
だからである。


$\fbox{注釈12.1}$ バークリーの言葉
$(\sharp_1):$ 存在するとは、知覚されること
は、 アインシュタイン=タゴール会談での アインシュタインの言葉:
$(\sharp_2):$ 月は、見ていても、見ていなくても存在する (=[測定者がいなくても、物理学は成立する] )
との対比 \begin{align*} \underset{(運動方程式だけではダメで、測定が必須)}{ \fbox{$\qquad (\sharp_1):$二元論的観念論 $\qquad \qquad \qquad$} } \quad \mbox{ vs. } \underset{(運動方程式だけでOK)} {\fbox{ $(\sharp_2)$:一元論的実在論$\qquad \qquad $ } } \end{align*} において、深淵である。

以下に,実現因果観測量に関する定理・定義を述べる. この節では,「有限実現因果観測量」に限定するので,いずれも容易に理解できると思う.理論的観点からは, 次節の「無限実現因果観測量」のための準備であるが, 応用的には,「有限実現因果観測量」でも十分使える.



定理 12.1 [=定理 11.1:[因果作用素と観測量]] 一般の基本構造 \begin{align*} [ {\mathcal A}_k \subseteq \overline{\mathcal A}_k \subseteq {B(H_k)}] \qquad (k=1,2) \end{align*}

を考える. $\Phi_{1,2}:\overline{\mathcal A}_2 \to \overline{\mathcal A}_1$を因果作用素とする. このとき, ${\overline{\mathcal A}_2}$内の任意の観測量 $ {\mathsf O}_2$ $=$ $(X , {\cal F} , F_2{})$ に対して, $(X , {\cal F} , \Phi_{1,2} F_2{})$ は${\overline{\mathcal A}_1}$内の観測量 である.これを$\Phi_{1,2} {\mathsf O}_2$ $=$ $(X , {\cal F} , \Phi_{1,2} F_2{})$ と記す.



Proof See proof of 定理 11.1.
$\square \quad$

この節では,木半順序集合$T(t_0)$ が有限の場合を考える. $T(t_0) = \{ t_0, t_1,\ldots , t_N \}$ として, ルート$t_0$ をもつ木半順序集合 $(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$ を考える. その親写像表現を $(T{{=}} \{ t_0,t_1,\ldots, t_N\} , \pi: T \setminus \{ t_0 \} \to T)$ とする.



定義12.2 [有限因果観測量列] $\;$ 一般の基本構造を \begin{align*} [ {\mathcal A}_k \subseteq \overline{\mathcal A}_k \subseteq {B(H_k)}] \qquad (t \in T(t_0)=\{t_0, t_1, \cdots, t_n \}) \end{align*}

として,因果作用素列 $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $\overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を考える.すなわち, 次を満たすとする( cf. 定義10.10 ):

$(i):$ 任意の$(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}$に対して, 因果作用素 $\Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}}$ が定義されて, $\Phi_{t_1,t_2} \Phi_{t_2,t_3} = \Phi_{t_1,t_3}$ $(\forall (t_1,t_2)$, $\forall (t_2,t_3) \in T^2_{\leqq})$ を満たす. ここに, $\Phi_{t,t} : {\overline{\mathcal A}_{t}} \to {\overline{\mathcal A}_{t}}$ は恒等作用素とする.

各 $t \in T$に対して, $\overline{\mathcal A}_{t} $内の観測量${\mathsf O }_t {{=}} (X_t, {\cal F}_t , F_t{})$ を 定める. 対 $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $\overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ を 因果観測量列 と呼び, $[{}{\mathsf O}_T{}]$ または $[{}{\mathsf O}_{T(t_0)}{}]$ と記す. すなわち, $[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $ \overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ である. 木半順序集合$T(t_0) = \{ t_0, t_1,\ldots , t_N \}$が有限のとき, 親写像$\pi: T\setminus \{t_0\} \to T$ を使って, $[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , $ $ \{ \overline{\mathcal A}_{t} \xrightarrow[]{{\Phi_{ \pi(t{}), t } }} \overline{\mathcal A}_{\pi(t)} \}_{t \in T \setminus \{ t_0 \}{}) {}}]$ と書くこともある.


ここで、次の問題を考える。

問題12.3
初期純粋状態$\rho_{t_0} \in {\frak S}^p({\mathcal A}_{t_0}^*) $ を持つシステムに対しての


因果観測量列$[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $ \overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$の測定を,如何に定式化するか?

この問題を解くためには,言語的解釈(=言語的コペンハーゲン解釈)に頼らなければならない. 言語的解釈 ─ 測定理論の解釈 ─ では, 「測定は一回だけ」 で, したがって, 「観測量は一つだけ」 が要請される. このために, 因果観測量列 $[{}{\mathsf O}_T{}]$ ${{=}}$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $\overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ の中の多数の観測量 ${}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} $ を 一つに合体させなければならい. これは,次の実現因果観測量によって 実現される.

定義12.4 [実現因果観測量]

$[{\mathsf O}_{T(t_0)}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T}, \{ \Phi_{\pi(t), t }{}: $ $\overline{\mathcal A}_{t} $ $ \xrightarrow[]{{\Phi_{ \pi(t{}), t } }} $ $ \overline{\mathcal A}_{\pi(t)} \}_{ t \in T\setminus \{t_0\} }$ $]$ を 因果観測量列 とする. 各 $s$ $(\in T{})$に対して, $T_s = \{ t \in T \;|\; t {\; \geqq \;}s \}$ とおく. $ \overline{\mathcal A}_{s} $内の {{}}観測量 $\widehat{\mathsf O}_s {{=}} ({{{\times}}}_{t \in T_s } X_t, $ $\boxtimes_{t \in T_s } {\cal F}_t, {\widehat F}_s)$ を以下の規則で定める:

\begin{align} \widehat{\mathsf O}_s = \begin{cases} {\mathsf O}_s \quad & \text{$ ( s \in T \setminus \pi (T) \; \text{のとき}${})} \\ \\ {\mathsf O}_s {\times} ({{{\times}}}_{t \in \pi^{-1} (\{ s \}{})} \Phi_{ \pi(t), t} \widehat {\mathsf O}_t{}) \quad & \text{($ s \in \pi (T) \; \text{のとき}${})} \end{cases} \tag{12.1} \end{align} (量子系の場合は,$\widehat{\mathsf O}_s$の存在は,保証されているわけでないことに注意せよ). これを逐次的に用いて, 結局, $ \overline{\mathcal A}_{t_0} $ 内の観測量 $\widehat{\mathsf O}_{t_0{}}$ $=$ $({{{\times}}}_{t \in T } X_t, $ $\boxtimes_{t \in T } {\cal F}_t,$ ${\widehat F}_{t_0})$ を得る. $\widehat{\mathsf O}_{t_0{}}$ $=$ $\widehat{\mathsf O}_{T(t_0){}}$ とおく. $\widehat{\mathsf O}_{T(t_0){}}$ $=$ $({{{\times}}}_{t \in T } X_t, $ $\boxtimes_{t \in T } {\cal F}_t,$ ${\widehat F}_{t_0})$ を, (有限)因果観測量列$[{}{\mathsf O}_{T(t_0)}{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{\pi(t), t }{}: $ $\overline{\mathcal A}_{t} \to \overline{\mathcal A}_{\pi(t)} \}_{ t \in T\setminus \{t_0\} }$ $]$ の (有限)実現因果観測量 と呼ぶ.



$\fbox{注釈12.2}$ 上の (12.1) 式において、 積"$\times$"を擬積"$\mathop{\times}^{qp}$"に置き換えてもよいが、 本書では、これに関わらない。


例 12.5 [単純な例(図11.3 から続く)]

$\;\;$ $\pi(1) = \pi(6) = \pi(7) = 0$, $\pi(2) = \pi(5) = 1$, $\pi(3) = \pi(4) = 2$.



さて, 因果観測量列 $[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , $ $ \{ \overline{\mathcal A}_t {{\Phi_{ \pi(t{}), t } }\atop{\rightarrow}} $ $ \overline{\mathcal A}_{\pi(t)} \}_{t \in T \setminus \{ 0 \}{}) {}}]$ の 実現因果観測量$\widehat{\mathsf O}_{T(t_0){}}$ $=$ $({{{\times}}}_{t \in T } X_t, $ $\boxtimes_{t \in T } {\cal F}_t,$ ${\widehat F}_{t_0})$を以下のように構成しよう. $T \setminus \pi(T) =\{3,4,5,6,7\}$ であるから, \begin{align*} \widehat{\mathsf O}_t = {\mathsf O}_t, \quad \text{} \quad \widehat{F}_t = {F}_t \quad (t = 3,4,5,6,7) \end{align*} となる. 次に,$ \overline{\mathcal A}_2 $内の同時観測量 $ \widehat{\mathsf O}_2 = (X_2 \times X_3 \times X_4, {\cal F}_2 \boxtimes {\cal F}_3 \boxtimes {\cal F}_4, {\widehat F}_2 {}) $ を次のように構成する. \begin{align*} {\widehat F}_2 & = F_2 \times ({{{\times}}}_{t \in \pi^{-1}(\{2\})} \Phi_{\pi(t),t} {\widehat F}_t{}) = F_2 \times ({{{\times}}}_{t=3,4} \Phi_{2,t} {\widehat F}_t{}) = F_2 \times ({{{\times}}}_{t=3,4} \Phi_{2,t} {F}_t{}) \\ & = F_2 \times \Phi_{2,3} {F}_3{} \times \Phi_{2,4} {F}_4{} \end{align*} (量子系の場合は,$\widehat{\mathsf O}_2$の存在は,保証されているわけでないことに注意せよ).

更に, $ \overline{\mathcal A}_1$内の同時観測量 $ \widehat{\mathsf O}_1 = $ $(X_1 \times X_2 \times X_3 \times X_4 \times X_5, {\cal F}_1 \boxtimes {\cal F}_2 \boxtimes {\cal F}_3 \boxtimes {\cal F}_4 \boxtimes {\cal F}_5, {\widehat F}_1 {}) $ を次のように構成する. \begin{align*} {\widehat F}_1 = F_1 \times ({{{\times}}}_{t=2,5} \Phi_{1,t} {\widehat F}_t{}) = F_1 \times \Phi_{1,5}F_5 \times \Phi_{1,2} \Big( F_2 \times \Phi_{2,3}F_3 \times \Phi_{2,4}F_4 \Big) \end{align*} そして, 結局, $\overline{\mathcal A}_0$内の 実現因果観測量 $ \widehat{\mathsf O}_0 = $ $({{{\times}}}_{t=1}^7 X_t , \boxtimes_{t=1}^7 {\cal F}_t, {\widehat F}_0 {}) $ を以下のように構成できる. \begin{align*} {\widehat F}_0 = F_0 \times ({{{\times}}}_{t=1,6,7} \Phi_{0,t} {\widehat F}_t{}) \end{align*} 上の手続きを図示すると


このようにして, 因果観測量列 $[{}\{{\mathsf O}_t\}_{t \in T },$ $\{ \overline{\mathcal A}_t \overset{\Phi_{\pi(t), t}}\to$ $\overline{\mathcal A}_{\pi(t)} \}_{ t \in T \setminus \{0\} }{}]$ の 実現因果観測量$\widehat{\mathsf O}_{0{}}$ $=$ $\widehat{\mathsf O}_{T{}}$ を得る. ${\widehat F}_0 $ を書き下すと,

\begin{align} & \widehat{F}_0 (\Xi_0 \times \Xi_1 \times \Xi_2 \times \Xi_3 \times \Xi_4 \times \Xi_5 \times \Xi_6 \times \Xi_7)] \nonumber \\ = & F_0(\Xi_0) \times \Phi_{0,1} \biggl( F_1(\Xi_1) \times \Phi_{1,5}F_5(\Xi_5) \times \Phi_{1,2} \Big( F_2(\Xi_2) \times \Phi_{2,3}F_3(\Xi_3) \times \Phi_{2,4}F_4(\Xi_4) \Big) \biggl) \nonumber \\ & \qquad \qquad \times \Phi_{0,6}( F_6(\Xi_6)) \times \Phi_{0,7}( F_7(\Xi_7)) \tag{12.2} \end{align} となる.(量子系の場合は,$\widehat{\mathsf O}_0$の存在は,保証されているわけでないことに注意せよ).

注意12.6 上で,$t=2,6,7$ で, ${\mathsf O}_t$ が定まっていないとしたら, $t=2,6,7$ に対して, 存在観測量 ${\mathsf O}^{\text{存}}_t {{=}} (X_t , \{ \emptyset, X_t \}, F^{\text{存}}_t)$ (cf.例2.20) を想定すればよい. そうすれば, $[ F^{\text{存}}_t (X_t)](\omega)=1$ $(t=2,6,7)$ だから, \begin{align} & \widehat{F}_0 (\Xi_0 \times \Xi_1 \times X_2 \times \Xi_3 \times \Xi_4 \times \Xi_5 \times X_6 \times X_7 ) \nonumber \\ =& F_0(\Xi_0) \times \Phi_{0,1} \biggl( F_1(\Xi_1) \times \Phi_{1,5}F_5(\Xi_5) \times \Phi_{1,2} \Big( \Phi_{2,3}F_3(\Xi_3) \times \Phi_{2,4}F_4(\Xi_4) \Big) \biggl) \tag{12.3} \end{align} となる. 存在観測量を考えないで, $T'$ $=$ $\{0,1,3,4,5 \}$ として, $[{}{\mathsf O}_{T'}{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in {T'}} ,$ $ \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${\overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in (T')^2_{{\; \leqq \;}}}$ $]$ とすると,その実現因果観測量 $\widehat{\mathsf O}_{T'(0){}}$ $=$ $({{{\times}}}_{t \in T' } X_t, $ $\boxtimes_{t \in T' } {\cal F}_t,$ ${\widehat F}'_{0})$ は, \begin{align} & \widehat{F}'_0 (\Xi_0 \times \Xi_1 \times \Xi_3 \times \Xi_4 \times \Xi_5 ) \nonumber \\ = & F_0(\Xi_0) \times \Phi_{0,1} \Big( F_1(\Xi_1) \times \Phi_{1,5}F_5(\Xi_5) \times \Phi_{1,4}F_4(\Xi_4)\times \Phi_{1,3}F_3(\Xi_3) \times \Phi_{1,4}F_4(\Xi_4) \Big) \tag{12.4)} \end{align}

となって, (12.3)式とは違う結果になってしまうので注意を要する. 以下の定理や例の中では, 存在観測量を省略して議論することもあるが, その場合は細心の注意のもとに 省略していると思ってもらいたい.

$\square \quad$



以上により,問題12.3に次のように答えることができる.

問題12.7 [=問題12.3の再掲]
初期状態$\rho_{t_0} \left\{\begin{array}{lll} \in {\frak S}^p({\mathcal A}_{t_0}^*):\;\; \mbox{純粋状態} \\ \in \overline{\frak S}^m((\overline{\mathcal A}_{t_0})_*):\;\; \mbox{$W^*-$混合状態}\quad \\ \in {\frak S}^m({\mathcal A}_{t_0}^*):\;\; \mbox{$C^*-$混合状態} \end{array}\right\} $ を持つシステムに対しての



因果観測量列$[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ $ \overline{\mathcal A}_{t_2} \to \overline{\mathcal A}_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$の測定を,如何に定式化するか?

解答 実現観測量$\widehat{\mathsf O}_{t_0}$が存在するならば, \begin{align*} \left\{\begin{array}{lll} \mbox{ 純粋測定} {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}_{t_0}}(\widehat{\mathsf O}_{t_0}, S_{[\rho_{t_0}]}) \\ \mbox{ $W^*-$混合測定} {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}_{t_0}}(\widehat{\mathsf O}_{t_0}, S_{[\ast]}{(\rho_{t_0})}) \quad \\ \mbox{ $C^*-$混合測定} {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}_{t_0}}(\widehat{\mathsf O}_{t_0}, S_{[\ast]}{(\rho_{t_0})}) \end{array}\right\} \end{align*} と定式化できる.


実現因果観測量 $\widehat{\mathsf O}_{T{}} (= \widehat{\mathsf O}_{t_0{}} )$ に, 言語ルール1(純粋測定)を適用すれば,

$(B_1):$ 測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}_{t_0}}(\widehat{\mathsf O}_{T{}}, S_{[\rho_{t_0}]})$ により得られる測定値 $(x_t)_{t \in T}$ が ${\widehat \Xi}( \in \boxtimes_{t\in T}{\cal F}_t )$ に属する確率は, \begin{align} {}_{{\mathcal A}^*} \Big( \rho_{t_0}, {\widehat F}_{t_0} ({\widehat \Xi} ) \Big) {}_{\overline{\mathcal A}_{t_0}} \tag{12.5} \end{align} となる.
を得る.また,混合測定に対しては,混合言語ルール$^{\mbox{(m)}}$ 1 ($\S$9.1)を適用すればよい.
いずれにしても、
$(B_2):$ 初期状態$\rho_0$は固定されていて, 状態は変化しない.
と言える. 次の定理は,古典系という制約の下で成立する定理であるが,非常に頻繁に使われる.



定理 12.8[決定的因果観測量列の実現因果観測量 ]

有限木半順序集合を $(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$ とする. 各$t \in T(t_0)$に対して,古典系の基本構造 \begin{align*} [C_0(\Omega_t) \subseteq L^\infty (\Omega_t, \nu_t ) \subseteq B(L^2 (\Omega_t, \nu_t ))] \end{align*} を考える. 因果観測量列$[{}{\mathsf O}_T{}]$ $=$ $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${L^\infty (\Omega_{t_2})} \to {L^\infty (\Omega_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ において, $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${L^\infty (\Omega_{t_2})} \to {L^\infty (\Omega_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ が決定的因果作用素列ならば, 実現因果観測量$\widehat{\mathsf O}_{T({t_0}){}} $ は 次のように表現できる: \begin{align*} \widehat{\mathsf O}_{T({t_0}){}} = {{{\times}}}_{t\in T} \Phi_{{t_0},t} {\mathsf O}_t \end{align*} すなわち, \begin{align*} & [\widehat{F}_{t_0} ( {{{\times}}}_{t\in T} \Xi_t \ )] (\omega_{t_0} ) = {{{\times}}}_{t\in T} [\Phi_{{t_0},t} {F}_t (\Xi_t )](\omega_{t_0} ) = {{{\times}}}_{t\in T} [{F}_t (\Xi_t )](\phi_{{t_0},t} \omega_{t_0} ) \\ & \quad \qquad \quad \qquad \quad \qquad \quad \qquad (\forall \omega_{t_0} \in \Omega_{t_0}, \forall \Xi_t \in {\cal F}_t ) \end{align*} が成立する.

証明 一般の場合も同様なので, 例12.5(すなわち,図13.1)の場合について示す. 定理10.6定理を繰り返し使って, \begin{align*} & {\widehat F}_0 = F_0 \times ({{{\times}}}_{t=1,6,7} \Phi_{0,t} {\widehat F}_t{}) \\ %一行目 = & F_0 \times ( \Phi_{0,1} {\widehat F}_1{} \times \Phi_{0,6} {\widehat F}_6{} \times \Phi_{0,7} {\widehat F}_7{} ) = F_0 \times ( \Phi_{0,1} {\widehat F}_1{} \times \Phi_{0,6} {F}_6{} \times \Phi_{0,7} { F}_7{} ) \\ %二行目 = & \Big( {{{\times}}}_{t=0,6,7} \Phi_{0,t} F_t \Big) \times ( \Phi_{0,1} {\widehat F}_1{} ) = \Big({{{\times}}}_{t=0,6,7} \Phi_{0,t} F_t \Big) \times \Phi_{0,1} ( F_1 \times ({{{\times}}}_{t=2,5} \Phi_{1,t} {\widehat F}_t{}) {} ) \\ = & \Big( {{{\times}}}_{t=0,1,6,7}\Phi_{0,t} F_t \Big) \times \Phi_{0,1}({{{\times}}}_{t=2,5} \Phi_{1,t} {\widehat F}_t{}) \\ = & \Big( {{{\times}}}_{t=0,1,6,7}\Phi_{0,t} F_t \Big) \times \Phi_{0,1}( \Phi_{1,2} {\widehat F}_2{} \times \Phi_{1,5} {\widehat F}_5{}) \\ %三行目 = & \Big( {{{\times}}}_{t=0,1,5,6,7}\Phi_{0,t} F_t \Big) \times \Phi_{0,1}( \Phi_{1,2} {\widehat F}_2{} ) \\ = & \Big( {{{\times}}}_{t=0,1,5,6,7}\Phi_{0,t} F_t \Big) \times \Phi_{0,1}( \Phi_{1,2} (F_2 \times ({{{\times}}}_{t=3,4} \Phi_{2,t} {\widehat F}_t{})) {} ) \\ = & {{{\times}}}_{t=0}^7 \Phi_{0,t} F_t \end{align*} を得る.

$\square \quad$