本書では, 「統計学=動的システム理論」 ─ 微分方程式と確率論という数学の応用的手法 という意味では同じもの ─ と考えるが, 「推定問題」は統計学, 「制御問題」は動的システム理論 と仕切りがされていると考えるのが,普通かもしれない. しかし, この2つは 同類の問題である. 以下にこのことを説明して, 「統計学=動的システム理論」を再確認する.


13.1.1:推定問題(統計学)

問題13.1[推定問題と回帰分析] $\Omega $ ${{=}}$ $\{ \omega_1 , \omega_2 ,\ldots , \omega_{N} \}$ をある高校の学生の集合とする. 身長関数$h : \Omega \to [{}100, 200{}]$ と 体重関数$w : \Omega \to [{}30, 110{}]$ を次のように定義する: \begin{align} \begin{cases} h (\omega_n{}) = \text{ "学生$\omega_n$の身長" } \\ w (\omega_n{}) = \text{ "学生$\omega_n$の体重" } \end{cases} \quad \qquad (n= 1,2,3,..., N{}) \tag{13.1)} \end{align}

簡単のため, $N=5$として, たとえば,表13.1を仮定する.

次を仮定する:
$(a_1):$ この高校では健康診断を実施しているので, 校長は, 表13.1のデータ ─ すべての学生の身長と体重 ─ を正確に把握している.


更に,次の$(a_2)$を仮定する:
$(a_2):$ ある日,この高校のある学生が川で溺れている少年を助けた. しかし,その学生は名前も名乗らずにその場を立ち去った. わかっていることは,
$(i):$ その学生はこの高校に所属している.
$(ii):$ その学生の身長と体重はそれぞれ約165 cm と約65 kgである.
ここで次の問題を考える:
$(b):$ 上の情報$(a_1)$と$(a_2)$から, 校長はその学生が誰かを如何に推定するか?
この推定問題(b)は回帰分析を使う典型的な例で, 測定理論の言葉によって解答13.5で答える.



13.1.2;制御問題(動的システム理論)

状態方程式 (一階連立微分方程式) に, 測定方程式 $g: {\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}$を加えて, 以下のように,動的システム理論(13.2) を考える. すなわち, \begin{align} \fbox { 動的システム理論 } = \begin{cases} {\rm{(i)}}: \underset{ (初期条件 \omega(0)=\alpha)}{\frac{d \omega (t)}{dt} = v(\omega(t), t{}, e_1(t), \beta)} \; & \cdots \text{( 状態方程式)} \\ \\ {\rm{(ii)}}: x(t) = g(\omega(t), t{}, e_2 (t) ) \; & \cdots \mbox{( 測定方程式)} \end{cases} \tag{13.2} \end{align} とする. ここに, $\alpha, \beta $ はパラメータ, $e_1 (t)$はノイズ, $e_2 (t)$は測定誤差 とする.


以下の例は, 動的システム理論における 制御問題の中で, 最も簡単なものである.



問題13.2[制御問題と回帰分析] 図7.1のように直方体の水槽に水を入れることを考える. 時刻$t$での水面の高さを関数 $\omega(t)$で表す. 流入速度を$\beta$として, 時刻$0$での初期水位を$\alpha$とする.





水位$\omega(t)$は次の状態方程式を満たす (ここで,ノイズ$e_1(t)=0$とした).

\begin{align*} \frac{d}{dt} \omega(t) = \beta \cdots \text{(状態方程式) } \end{align*} $\omega (0)=\alpha$として,これを解けば, \begin{align} \omega(t) = \alpha + \beta t \tag{13.3} \end{align}

ここに, $\alpha$ と $\beta$ は 未知の固定されたパラメータと考える. 実際の測定値は誤差を含むので,測定方程式は次のようになる:

\begin{align*} x(t) = \alpha + \beta t + e_2(t) \cdots \mbox{(測定方程式) } \end{align*} ここに$e_2(t)$は測定誤差である. 次を仮定する: \begin{align} x(1)=1.9, \quad x(2)=3.0, \quad x(3)=4.7. \tag{13.4} \end{align} この(13.4)を、以下のように二つの解釈(制御と推定)をする。


ここで次の制御問題を考える (答えは測定理論の言葉で解答13.6(13.2節)で述べる):
$(c_1):$ [制御問題]: 時刻$t=1,2,3$での 水位の目標測定データとして,次の \begin{align*} x(1)=1.9, \quad x(2)=3.0, \quad x(3)=4.7 \label{1data} \end{align*} を考えたい. この目標測定データ を得られるように $\alpha$ と $\beta$ を設定せよ.
である.

別の見方も重要で,この $({\rm c}_1)$は次の推定問題$({\rm c}_2)$と同値である.

$(c_2):$ [推定問題]: 時刻$t=1,2,3$での 水位の測定データが \begin{align*} x(1)=1.9, \quad x(2)=3.0, \quad x(3)=4.7 \end{align*} が得られたとする. このとき, $\alpha$ と $\beta$ を推定せよ.

ここで, 実質的には (すなわち,測定理論のテクニカルな面としては),「(${\rm c}_1$)=(${\rm c}_2$)」なので,

$(d):$ 推定問題と制御問題は 同類の問題であり, 測定の逆問題である
ことに注意してもらいたい.




注意13.3 [動的システム理論についての注意] (13.2)式に関して、以下に注意しよう:

$(\sharp):$ ノイズ$e_1 (t)$ と測定誤差 $e_2 (t)$ は同じ数学構造 (確率過程) を持つ.
これは動的システム理論(13.2)式 のウィーク・ポイントと考える。 異なる概念 ( ノイズ と測定誤差 ) ならば、異なる数学構造で定式化された方が好ましい と考えるからである。 ノイズ と測定誤差 は混乱しやすいが、 量子言語においては 数学構造が異なるので、混乱を避けることができる。