問題15.3で述べた 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{0} \times {\mathbb R}_+)}( {\mathsf O} \equiv (X(={\mathbb R}^n), {\cal F}, F) , S_{[(\beta_0,\beta_1, \sigma)]} {} )$ を 考える. 各 $(\beta, \sigma) \in {\mathbb R}^2 \times {\mathbb R}_+$に対して, 確率空間 $(X, {\mathcal F}, P_{(\beta, \sigma)} )$を考える. もちろん,　ここで,確率測度$P_{(\beta, \sigma)}$を 以下のように定める： \begin{align*} P_{(\beta, \sigma)}(\Xi ) = F(\Xi)](\beta_0,\beta_1, \sigma) \qquad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \end{align*} 二乗可積分関数全体の空間$L^2(X, P_{(\beta, \sigma)})$ (略して,$L^2(X)$)を以下のように定義する. \begin{align} L^2(X)= \{\mbox{可測関数$f:X \to {\mathbb R}$} \;\;|\;\ [\int_X |f(x)|^2 P_{(\beta, \sigma)}(dx)]^{1/2 } < \infty \}. \tag{15.25} \end{align} 任意の$f, g \in L^2(X)$に対して, $E(f)$ と $V(f)$ と次のように定める. \begin{align} & E(f)= \int_X f(x) P_{(\beta, \sigma)} (dx), \quad V(f)=\int_X |f(x) -E(f)|^2 P_{(\beta, \sigma)} (dx). \tag{15.26} \end{align}





補題15.5 問題15.3で述べた 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{0} \times {\mathbb R}_+)}( {\mathsf O} \equiv (X(={\mathbb R}^n), {\cal F}, F) , S_{[(\beta_0,\beta_1, \sigma)]} {} )$ を 考える. このとき,次を得る.

$(A_1):$ $ \mbox{(1): } V(\hat{\beta}_0)= \frac{\sigma^2}{n}(1+ \frac{\overline{a}^2}{s_{aa}}), \qquad \mbox{(2): } V(\hat{\beta}_1)= \frac{\sigma^2}{n} \frac{1}{s_{aa}}, $
$(A_2):$ [スチューデント化]. 上の(H$_1$)に動機付けられて, 次を得る： \begin{align} & T_{\beta_0} := \frac{\sqrt{n}(\hat{\beta}_0-{\beta}_0)} {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2(1+ \overline{a}^2/ s_{aa})}}} \sim t_{n-2}, \qquad T_{\beta_1} := \frac{\sqrt{n}(\hat{\beta}_1-{\beta}_1)} {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2/ s_{aa}}}} \sim t_{n-2} \tag{15.27} \end{align} ここに,$t_{n-2}$は自由度($n-2$)のスチューデント分布の確率密度関数とする.
$\square \quad$




問題15.3で述べた 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{0} \times {\mathbb R}_+)}( {\mathsf O} \equiv (X(={\mathbb R}^n), {\cal F}, F) , S_{[(\beta_0,\beta_1, \sigma)]} {} )$ を 考える. 各 $k=0,1$に対して, 推定量 ${\widehat{E}}_k:X(={\mathbb R}^n) \to {\Theta_k}(={\mathbb R})$ と システム量 $\pi_k: \Omega(={\mathbb R}^2 \times {\mathbb R}_+) \to {\Theta_k}(={\mathbb R})$を次のように定める. \begin{align} & {\widehat{E}}_0 ( x) (=\hat{\beta}_0(x)) = \overline{x}- \frac{s_{ax}}{s_{aa}} \overline{a}, \quad {\widehat{E}}_1 ( x) (=\hat{\beta}_1(x)) = \frac{s_{ax}}{s_{aa}} , \quad \\ & \pi_0 (\beta_0, \beta_1, \sigma ) = \beta_0. \quad \pi_1 (\beta_0, \beta_1, \sigma ) = \beta_1, \\ & \qquad \qquad \qquad ( \forall (\beta_0, \beta_1, \sigma ) \in {\mathbb R}^2 \times {\mathbb R}_+ ) \tag{15.28} \end{align} 正数 $\alpha$ を $0 < \alpha \ll 1$ として, たとえば, $\alpha = 0.05$ として固定しておく. 任意の状態 $ \omega =( \beta, \sigma ) ({}\in \Omega ={\mathbb R}^2 \times {\mathbb R}_+)$に対して, 正数 $\eta^\alpha_{\omega, k}$ $({}> 0)$ を次のように定める. \begin{align} \eta^\alpha_{\omega, k} & = \inf \{ \eta > 0: [F(\{ x \in X \;:\; d^x_{\Theta_k} ( {\widehat{E}_k}(x) , \pi_k( \omega ) ) \ge \eta \} )](\omega ) \le \alpha \} \tag{15.29} \end{align} ここで,半距離 $d_{\Theta_k}^x$ (in $\Theta_k$)を次のように定めた. \begin{align} d^x_{\Theta_k}(\theta_k^0,\theta_k^1) = \begin{cases} \frac{\sqrt{n}| \theta_0^0-\theta_0^1 |} {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2(1+ \overline{a}^2/ s_{aa})}}} \quad & (\mbox{if }k=0) \\ \\ \frac{\sqrt{n} | \theta_1^0-\theta_1^1 | } {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2/ s_{aa}}}} \quad & (\mbox{if }k=1) \end{cases} \tag{15.30} \end{align} したがって, 補題15.5より,次を得る： \begin{align} \eta^\alpha_{\omega, k} & = \begin{cases} \inf \{ \eta > 0: [F(\{ x \in X \;:\; \frac{\sqrt{n}| \hat{\beta}_0(x) - \beta_0 |} {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2(1+ \overline{a}^2/ s_{aa})}}} \ge \eta \} )](\omega ) \le \alpha \} \quad & (\mbox{if }k=0) \\ \\ \inf \{ \eta > 0: [F(\{ x \in X \;:\; \frac{\sqrt{n}|\hat{\beta}_1(x)-{\beta}_1|} {\sqrt{ {\hat{\sigma}^2(x)/ s_{aa}}}} \ge \eta \} )](\omega ) \le \alpha \}\quad & (\mbox{if }k=1) \end{cases} \tag{15.31} \\ & = t_{n-2}(\alpha/2) \tag{15.32} \end{align}


上の議論から,次の命題を得る.

命題 15.6 [信頼区間] [信頼区間]. 状態$(\beta_0,\beta_1, \sigma)$は未知とする. 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{0} \times {\mathbb R}_+)}( {\mathsf O} \equiv (X, {\cal F}, F) , S_{[(\beta_0,\beta_1, \sigma)]} {} )$によって,測定値 $x \in X$を得たとしよう. このとき, $({}1- \alpha{})$-信頼区間 $I_{x,k}^{1- \alpha}$ は次のようになる. \begin{align} & I_{x,k}^{1- \alpha} = \{ \pi_k(\omega) (\in \Theta_k) : d^x_{\Theta_k} ({}{\widehat{E}_k}(x), \pi_k(\omega ) ) < \eta^{1- \alpha}_{\omega, k } \} \nonumber \\ \nonumber \\ & = \begin{cases} I_{x,0}^{1- \alpha} = \Big\{ \beta_0 = \pi_0(\omega) (\in {\Theta_0}) \;:\; \frac{ |\hat{\beta}_0 (x) -{\beta}_0| }{ {\sqrt{ {\frac{\hat{\sigma}^2(x)}{n}(1+ \overline{a}^2/ s_{aa})}}} } \le t_{n-2}(\alpha/2) \Big\} \quad & (\mbox{if }k=0) \\ \\ I_{x,1}^{1- \alpha} = \Big\{ \beta_1 = \pi_1(\omega) (\in {\Theta_1}) : \frac{ |\hat{\beta}_1 (x) -{\beta}_1| }{ {\sqrt{ {\frac{\hat{\sigma}^2(x)}{n}(1/ s_{aa})}}} } \le t_{n-2}(\alpha/2) \Big\} \quad & (\mbox{if }k=1) \end{cases} \tag{15.33} \end{align}


命題 15.7 [仮説検定] 状態$(\beta_0,\beta_1, \sigma)$は未知として, 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{0} \times {\mathbb R}_+)}( {\mathsf O} \equiv (X, {\cal F}, F) , S_{[(\beta_0,\beta_1, \sigma)]} {} )$を考える. このとき,

$(B_1):$ 帰無仮説 $H_{N} = { \{ \beta_0 \}} (\subseteq \Theta_0={\mathbb R})$において, 棄却域は以下のようになる. \begin{align} {\widehat R}_{{H_N}}^{\alpha; X} & = {\widehat{E}_0}^{-1}( {\widehat R}_{{H_N}}^{\alpha; {\Theta_0}}) = \bigcap_{\omega \in \Omega \mbox{ such that } \pi_0(\omega) \in {H_N}} \{ x (\in X) : d^x_{\Theta_0} ({}{\widehat{E}_0}(x), \pi_0(\omega ) ) \ge \eta^\alpha_{\omega } \} \nonumber \\ & = \Big\{ x \in X \;:\; \frac{ |\hat{\beta}_0 (x) -{\beta}_0| }{ {\sqrt{ {\frac{\hat{\sigma}^2(x)}{n}(1+ \overline{a}^2/ s_{aa})}}} } \ge t_{n-2}(\alpha/2) \Big\} \tag{15.34} \end{align}
$(B_2):$ 帰無仮説 $H_{N} = { \{ \beta_0 \}} (\subseteq \Theta_0={\mathbb R})$において, 棄却域は以下のようになる. \begin{align} {\widehat R}_{{H_N}}^{\alpha; X} & = {\widehat{E}_1}^{-1}( {\widehat R}_{{H_N}}^{\alpha; {\Theta_1}}) = \bigcap_{\omega \in \Omega \mbox{ such that } \pi_1(\omega) \in {H_N}} \{ x (\in X) : d^x_{\Theta_1} ({}{\widehat{E}_1}(x), \pi_1(\omega ) ) \ge \eta^\alpha_{\omega } \} \nonumber \\ & = \Big\{ x \in X \;:\; \frac{ |\hat{\beta}_1 (x) -{\beta}_1| }{ {\sqrt{ {\frac{\hat{\sigma}^2(x)}{n}(1/ s_{aa})}}} } \ge t_{n-2}(\alpha/2) \Big\} \tag{15.35} \end{align}