各$\omega \;(\in \Omega)$に対する測定誤差$\Delta_\omega$を次のように定義するのは自然だろう。
\begin{align}
\Delta_\omega := \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big)^{1/2} \quad (\forall \omega \in \Omega).
\tag{17.9}
\end{align}
各学生
$\theta_i \;(\in \Theta)$において、
その実力分布は
$
\Phi_\ast(1_{\theta_i})
$
なので、
測定誤差$\Delta_i
$
は次のように定義される。
\begin{align}
\Delta_i &:= \Big( \int_{X_{\mathbb R}} \Delta_\omega \, [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big)^{1/2} \nonumber \\
&= \Big( \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big)^{1/2} \quad (i=1,2,\dots,n).
\tag{17.10}
\end{align}
したがって、
グループテスト
$
{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes
$
の測定誤差$\Delta_g$
は次のように定義される。
\begin{align}
\Delta_g &:= \Big( \frac1n \sum_{i=1}^n \Delta_i^2 \Big)^{1/2}.
\tag{17.11}
\end{align}
以上の準備の下に、次の定理を得る。
定理 17.8
(i: 分散${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}]$)
テスト観測量 ${\mathsf O}_\tau$の測定${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)} := {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$を考える。
このとき、
\begin{align}
{\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}] = {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^{(i)}] + \Delta_i^2.
\tag{17.12}
\end{align}
(ii: 分散${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]$)
グループテスト${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta}{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}$
$= \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau,$
$ S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$
を考える。
このとき、
\begin{align}
{\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] = {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes] + \Delta_g^2
\tag{17.13}
\end{align}
解答
$\mu_i$を分布
$\Phi_\ast(1_{\theta_i})$の平均値とする。
このとき、
「グループテストの良さ」を表す指標として、
信頼性係数を次のように定義する。
定義17.7[信頼性係数]
${\mathsf O}_\tau := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_\tau)$
と
${\mathsf O}_E := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},E)$を
それぞれ
$L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$内の
テスト観測量と精密観測量とする。
グループテスト
\begin{align*}
{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))
\end{align*}
を考える。
このとき、グループテスト${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes$の
信頼性係数
${\rm RC} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]$を次のように定める。
\begin{align*}
{\rm RC} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] = \frac{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]}{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]}.
\end{align*}
17.1.3: テストの信頼性係数の計算
This web-site is the html version of "Linguistic Copehagen interpretation of quantum mechanics; Quantum language [Ver. 4]" (by Shiro Ishikawa; [home page] )
PDF download : KSTS/RR-18/002 (Research Report in Dept. Math, Keio Univ. 2018, 464 pages)
$\square \quad$