前節で、信頼性係数 ${\rm RC} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] := \frac{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]}{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]}$を定義した。
しかしながら、グループテストの
${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes$の得点データ$(x_1,x_2,\dots,x_n) \;(\in X_{\mathbb R}^n)$から、
分子(=分散${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]$)を直接的に計算できないので、信頼性係数を求めるためには、工夫が必要になる。
この節では、その「工夫」(特に、「折半法」と呼ばれる工夫）について説明する。
[折半法(Split-half method)]
$\bullet$
折半法とは、類似のテストを2回行うことによって、
信頼性係数を求める方法で、以下に述べる。
定義17.9 [グルプテスト] 例17.1と同様に、 $\Theta := \{\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n\}$, $X_{\mathbb R} = \Omega_{\mathbb R} = {\mathbb R}$ と $\Phi_\ast : L_{+1}^1(\Theta,\nu_c) \to L_{+1}^1(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$と定める。 $L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$内に二つのテスト観測量${\mathsf O}_{\tau_1} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_1})$ と ${\mathsf O}_{\tau_2} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_2})$考える。 測定 \begin{align*} \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)} ({\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i}))), \end{align*} は ${\mathsf O}_{\tau_1}$ と ${\mathsf O}_{\tau_2}$の グループテスト と呼ばれ、 短縮形は${\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes$と記される。
混合言語ルール$^{\mbox{(m)}}$ 1 ($\S$9.1) に従えば、 次が言える。
| $(A):$ | $\;$ グループ同時テスト$\otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)} ({\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$ (or in short, ${\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes$)によって得られた測定値$((x_1^1,x_1^2),(x_2^1. x_2^2),\dots,(x_n^1,x_n^2)) \;(\in X_{\mathbb R}^{2n})$が ${{{\times}}}_{i=1}^n (\Xi_i^1 \times \Xi_i^2) \;(\in {\cal F}_{X_{\mathbb R}^{2n}})$ に属する確率は、次で与えられる： \begin{align} {\Large{\times}}_{\theta_i \in \Theta} {}_{L^1(\Omega_{\mathbb R},d\omega)} \langle {\Phi_\ast(1_{\theta_i})}, (F_{\tau_1} \times F_{\tau_2})(\Xi_i^1 \times \Xi_i^2) \rangle_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)} \Big(=: {\widehat P}_2(\times_{i=1}^n (\Xi_i^1 \times \Xi_i^2)) \Big). \tag{17.14} \end{align} |
ここに、$(X_{\mathbb R}^{2n}, {\cal F}_{X_{\mathbb R}^{2n}}, {\widehat P}_2)$はサンプル空間。 $W_2: X_{\mathbb R}^{2n} \to {\mathbb R}$を統計量 （i.e., 可測関数）とする。 このとき, ${\cal E}_{{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes}[W_2]$ ---$W_2$の期待値---を、次で定義する：
\begin{align*} {\cal E}_{{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}}[W_2] = \int_{X_{\mathbb R}^n} W(x_1^1,x_1^2,x_2^1,x_2^2,\dots,x_n^1,x_n^2) \, {\widehat P}_2(dx_1^1 \, dx_1^2 \, dx_2^1 \, dx_2^2 \cdots dx_n^1 \, dx_n^2). \end{align*} 次の記法を定める： \begin{align*} &\text{(i)} \;\; {\rm Av}^{(k)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes] := \mathcal{E}_{{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes} \Big[ \frac1n \sum_{i=1}^n x_i^k \Big] \qquad (k=1,2), \\ &\text{(ii)} \;\; {\rm Var}^{(k)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes] := {\cal E}_{{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes} \Big[ \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i^k- {\rm Av}^{(k)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes])^2 \Big] \qquad (k=1,2), \\ &\text{(iii)} \;\; {\rm Cov}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}] := {\cal E}_{{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}} \Big[ \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i^1-{\rm Av}^{(1)}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}])(x_i^2-{\rm Av}^{(2)}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}]) \Big]. \end{align*}ここで、明らかに、${\rm Av}^{(k)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes] = {\rm Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_k}}^\otimes] = {\rm Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]$ ($k=1,2$).
定義17.10 [テスト観測量の同値性]
テスト観測量${\mathsf O}_{\tau_1} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_1})$と${\mathsf O}_{\tau_2} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_2})$
は、次を満たすとき、
同値
を見なす。
\begin{align}
\Delta_\omega^{(1)} = \Delta_{\omega}^{(2)} \quad (\forall \omega \in \Omega_{\mathbb R}),
\tag{17.15}
\end{align}
ここに、$\Delta_\omega^{(k)} := ( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_{\tau_k}(dx)](\omega) )^{1/2}$ \; (see (17.9})).
$L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$内の二つのテスト観測量${\mathsf O}_{\tau_1} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_1})$と${\mathsf O}_{\tau_2} := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_{\tau_2})$が同値とする。$L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$内の
同時観測量${\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}$を考えれば、次が成り立つ：
\begin{align}
{\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1}}^\otimes] = {\rm Var}^{(1)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes] = {\rm Var}^{(2)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes] = {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes].
\tag{17.16}
\end{align}
以上の準備の下に、次の定理を得る
.
定理 17.11[グループ同時テストにおける信頼性係数と相関係数]
上記のように、グループテスト
${\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_k}}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_{\tau_k}, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$ ($k=1,2$)、
${\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\bf M}({\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$を考える。
このとき、次を得る：
\begin{align}
{\rm RC}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1}}] = {\rm RC}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_2}}] = \frac{{\rm Cov}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}]}{\sqrt{{\rm Var}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1}}]} \cdot \sqrt{{\rm Var}[{\bf M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_2}}]}}.
\tag{17.17}
\end{align}
解答 不偏条件(17.3)から, 次の計算を得る：
\begin{align} &{ Cov}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times{\mathsf O}_{\tau_2}}] := {\mathcal E}_{{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes} \Big[ \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i^1 - { Av}^{(1)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes])(x_i^2 - { Av}^{(2)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes])\Big] \nonumber \\ &= \int_{\Omega_{\mathbb R}} \cdots \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} \cdots \int_{X_{\mathbb R}} \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i^1-{ Av}^{(1)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes])(x_i^2-{ Av}^{(2)}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes]) \nonumber \\ &\quad \times \times_{i=1}^n [F_{\tau_1}(dx_i^1) \, F_{\tau_2}(dx_i^2)](\omega_i) \Big) \times_{i=1}^n [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega_i) \, d\omega_i \nonumber \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \Big( \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} \int_{X_{\mathbb R}} (x_i^1-{ Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes])(x_i^2-{ Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]) \, [F_{\tau_1}(dx_i^1)](\omega) \, [F_{\tau_2}(dx_i^2)](\omega) \Big) \nonumber \\ &\quad \times [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big) \nonumber \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \Big( \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x_i^1-{ Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]) \, [F_{\tau_1}(dx_i^1)](\omega) \cdot \int_{X_{\mathbb R}} (x_i^2-{ Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]) \, [F_{\tau_2}(dx_i^2)](\omega) \Big) \nonumber \\ &\quad \times [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big) \nonumber \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_{\mathbb R}} (\omega-{ Av}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes])^2 \, [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega = { Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]. \tag{17.18} \end{align}よって、次を得る。
\begin{align} &\frac{{ Cov}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}]}{\sqrt{{ Var}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1}}]} \cdot \sqrt{{ Var}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_2}}]}} = \frac{{ Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]}{{ Var}^{(1)}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}]} = \frac{{ Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]}{{ Var}^{(2)}[{ M}^\otimes_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}]}. \tag{17.19} \end{align}本章では、折半法による信頼性係数の求め方を説明した。 要は、
- 折半法によって、 $ \underset{\displaystyle {\mathsf M}_{{\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_{\tau_1} \times {\mathsf O}_{\tau_2}, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))}{{{\mbox{グループ同時テスト}}}} $ を構成すること
