18.1:信念, オッズ、確率

問題18.1 [$=$ 問題9.4; ベイズの方法] 次の状況を仮定しよう。

$(C):$

あなたは、カーテンの後ろの壺が$U_1$か$U_2$かどうかは 知らないが、その「確率」が$p$と$1-p$であることは知っている。

このとき、次の問題を考える。

• 

解答 18.2 (=解答 9.13)



離散距離空間 $\Omega=\{ \omega_1, \omega_2 \}$ に 個数測度$\nu_c$を仮定する。 したがって、 $C_0(\Omega)$ $=C(\Omega )$ $= L^\infty (\Omega, \nu_c )$ と考えてよい。 $C(\Omega)$内の 二つの観測量 ${\mathsf O} = ({} \{ {{{W}},} {{B}} \},$ $ 2^{\{ {{W}}, {{B}} \} } ,$ $ F{})$ と ${\mathsf O}_U = ({} \{ {{{U_1}},} {{U_2}} \},$ $ 2^{\{ {{U_1}}, {{U_2}} \} } ,$ $ G_U{})$ を次のように定める： \begin{align*} & F({}\{ {{W}} \}{})(\omega_1{})= 0.8, F({}\{ {{B}} \}{})(\omega_1{})= 0.2, F({}\{ {{W}} \}{})(\omega_2{})= 0.4, F({}\{ {{B}} \}{})(\omega_2{})= 0.6 \\ \\ & G_U({}\{ {{U_1}} \}{})(\omega_1{})= 1,% G_U({}\{ {{U_2}} \}{})(\omega_1{})= 0,% G_U({}\{ {{U_1}} \}{})(\omega_2{})= 0,% G_U({}\{ {{U_2}} \}{})(\omega_2{})= 1 \end{align*}

こｋで、"$W$"と"$B$" はそれぞれ"白" と "黒"を意味する。 同一視 $U_1 \approx \omega_1$ と $U_2 \approx \omega_2$ の下に、 上の状況を表す混合状態 $\rho^{(p)}_{\mbox{prior}} ( \in {\mathcal M}_{+1} (\Omega))$ は次のようになる： \begin{align*} \rho^{(p)}_{\mbox{ prior}} = p \delta_{\omega_1} + (1-p) \delta_{\omega_2} \end{align*} ここに$\delta_{\omega}$は 点$\omega$における点測度とする。 したがって、次の混合測定を考えればよい。 \begin{align} & {\mathsf M}_{C (\Omega)}({\mathsf O} \times {\mathsf O}_{U} := ({} \{ {{{W}},} {{B}} \} \times \{U_1, U_2\} ,2^{ \{ {{{W}},} {{B}} \} \times \{U_1, U_2\} } , F \times G_U{}), S_{[*]}( \rho^{(p)}_{\mbox{ prior}} )) \\ & \tag{18.2} \end{align}




混合言語ルール$^{\mbox{(m)}}$ 1 ($\S$9.1)に従えば、問題18.1の(i)の解答は、以下のようになる：

$(D):$

混合測定 ${\mathsf M}_{C (\Omega)}({\mathsf O} \times {\mathsf O}_{U}, S_{[*]}( \rho^{(p)}_{\mbox{ prior}} ))$ によって得られる測定値 $(x,y)$が $\{W \} \times \{U_1, U_2 \}$ に属する確率は、 次で与えられる： \begin{align*} {}_{{\mathcal M}(\Omega)}(\rho^{(p)}_{\mbox{ prior}}, F(\{W\}) )_{C_{}(\Omega )} = 0.8 p + 0.4 (1-p). \end{align*}

さらに、白球を取り出したと仮定しよう。 このときは解答9.13 (=ベイズの定理 ) によって、測定後の 新しい混合状態$\rho^{(p)}_{\mbox{ post}} (\in {\mathcal M}_{+1}(\Omega ))$ は以下のようになる： \begin{align} \rho^{(p)}_{\mbox{ post}} & % = \frac{ F({}\{ {{W}}\} {}) \rho^{(p)}_{\mbox{ prior}} }{\int_\Omega [F( \{ {{W}}\} )](\omega) \rho^{(p)}_{\mbox{ prior}}(d \omega )} = \frac{\displaystyle 0.8 p }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \delta_{\omega_1} + \frac{\displaystyle 0.4(1- p) }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \delta_{\omega_2} \\ & \tag{18.3} \end{align} したがって、 問題(ii)の解答は次のようになる： \begin{align*} {}_{{\mathcal M}(\Omega)}(\rho^{(p)}_{\mbox{ post}}, G_U(\{ U_1 \}) )_{C_{}(\Omega )} = \frac{\displaystyle 0.8 p }{\displaystyle 0.8p+0.4(1-p) } \end{align*}

問題18.3 状況(E)と状況(C) ( $ p=1/4, \;\; 1-p = 3/4 $ ) を比較しよう。 さて、次の問題を考える。

$(F_1):$

確信 [状況(E)]を 確率 [状況(C)]のように理解できるか？

または、同じ意味で,

$(F_2):$

確信 [状況(E)]は、混合測定 (i.e., 混合言語ルール$^{\mbox{(m)}}$ 1 ($\S$9.1) ) で、 したがって、量子言語で記述できるか?

答えは「Yes」で、次で説明する。