量子言語の必然性がよくわかる例(ベルの不等式と射影公準)なので、上級者ならば、以下を読む前にこの論文を先に読んだ方が手っ取りばやい。 著者は「ベルの議論」を評価していない、というより、著者は「ベルの議論」の科学的意義がわかっていない。すなわち、「ベルの仕事」が無かったとしても困る科学者はいないと思っている。哲学者は多少困るかもしれないが、
「高尚らしいこと」は疑った方がよい。
　 4.5.1: 古典システムにおいても"ベルの不等式"は破られる?

そうならば、量子基礎論の分野の仕事には、過大評価・過小評価がつきものかもしれない。 確実な偉業は、「フォン・ノイマンの仕事」と「エンタングル状態($\approx$超光速)の応用」だけかもしれない。

まず、ベルの不等式の数学の部分を説明する。

次の三つのステップ(I$\sim$III)を用意する.

[Step I]: 一般基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$を考える. 測定値空間を $X^2=\{-1,1\}^2 = \{ (1,1), (1,-1), $ $ (-1,1), $ $ (-1,-1) \}$とする. 二つの複素数 $a= {\alpha}_1 +{\alpha}_2{}{\sqrt{-1}} $ と $b= {}{\beta}_1 +{\beta}_2{}{\sqrt{-1}}$ は絶対値が1とする. 　すなわち, $| a |$ $\equiv$ $\sqrt{{}| \alpha_1 |^2 + | {\alpha}_2 |^2{}} =1$ and $| b |$ $\equiv$ $\sqrt{{}| \beta_1 |^2 + | {\beta}_2 |^2{}} =1$. 確率空間 $( X^2, {\cal P}(X^2), \nu_{ab})$ を次のように, 定義する：

相関関数$P(a,b)$ は以下のようになる：

これを、次のステップ [II]で答えよう.

(i): 量子系の場合 [${\cal A}=B({\mathbb C}^2) \otimes B({\mathbb C}^2) =B({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2)$ ]

とおく. 各 $c \in \{a,b\}$ に対して, $B({}{\mathbb C}^2{}) $内の 観測量 ${\mathsf O}_c$ $\equiv$ $\bigl(X ,{\cal P}(X) , G_c \bigl)$ を次のように定める：

さらに, ニ粒子の量子系を ${ B }({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2{})$ 内で以下のように考える.

さて, 状態 $\rho_s$ $= | {\psi_s} \rangle \langle {\psi_s} |$ と $\rho_0$ $= | {\psi_0} \rangle \langle {\psi_0} |$ $\bigl({}\in {\frak S}^p({} { B }({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2{})^*{}) \bigl)$ を考えよう. ここに, $\psi_s=(e_1\otimes e_2 -e_2\otimes e_1)/{\sqrt{2}}$ と $\psi_0=e_1\otimes e_1$. とする. ユニタリ作用素 $U$ $( \in B({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2)$ が $U\psi_0 =\psi_s$ を満たすとしよう. $B({}{\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2{})$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_{ab} $ $=$ $({}X^2 , {\cal P}({}X^2{}) , F_{ab}:= U^* (G_a \otimes G_b)U {})$ と考えて, 測定 ${\mathsf M}_{B({}{\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2{})} ({}{\mathsf O}_{ab} ,S_{[{}\rho_0{}]}{})$ を得る. これは, 明らかに問題(D)を満たす. なぜならば, 各$(x_1,x_2) \in X^2$に対して, 次を計算すればよい.

(ii):古典系の場合 [${\cal A}=C_0(\Omega) \otimes C_0(\Omega)=C_0(\Omega \times \Omega)$]

$\omega_0 (=(\omega_0', \omega''_0)) \in \Omega \times \Omega$, と $\rho_0 = \delta_{\omega_0} $ ($\in {\frak S}^p ({}{C_0(\Omega \times \Omega)}^*)$ ) 考える. $C_0(\Omega \times \Omega)$内の 観測量 ${\mathsf O}_{ab}:=( X^2, {\cal P}(X^2), F_{ab})$ を次を満たすように定める： $ [ F_{ab}( \{(x_1,x_2)\} )](\omega_0 ) = \nu_{ab} ( \{(x_1,x_2)\} )$. したがって, 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega\times \Omega)} ({}{\mathsf O}_{ab} ,S_{[{}\delta_{\omega_0}{}]}{})$ を得る. これは, 明らかに問題(D)を満たす.

各 $k=1,2$ に対して, 絶対値1の複素数 $a^k (=\alpha_1^k+\alpha_2^k{\sqrt{-1}} )$ と $b^k(=\beta_1^k+\beta_2^k{\sqrt{-1}})$ を考える. 　ここに, $| a^k |=| b^k |=1$に注意せよ. さて, テンソル $W^*$代数 $ \otimes_{{}_{i,j=1,2}} \overline{\mathcal A} $ 内の 並行測定 $\otimes_{i,j=1,2}$ ${\mathsf M}_{ {\cal A} } ({\mathsf O}_{a^ib^j}:=( X^2, {\cal P}(X^2), F_{a^ib^j}) ,$ $S_{[\rho_0]}{})$ を考えて, その測定値を $x (\in X^8)$ とする. すなわち, \begin{align*} x & = \big({} ({}x_{1}^{11} , x_{2}^{11}{}), ({}x_{1}^{12} , x_{2}^{12}{}), ({}x_{1}^{21} , x_{2}^{21}{}), ({}x_{1}^{22} , x_{2}^{22}{}) \big) \\ & \in {{{\times}}}_{i,j=1,2} X^2 \end{align*}

ここで, (4.50)により, 各 $i,j=1,2$ に対して, 次を得る： \begin{align*} P({a^{i},b^{j}}) & = \!\!\! \sum_{(x^{ij}_1, x^{ij}_2) \in X\times X } \!\!\! x^{ij}_1 \cdot x^{ij}_2 \rho_0 (F_{a^ib^j}( \{(x^{ij}_1,x^{ij}_2)\} )) \\ & = -\alpha^{i}_1 \beta^{j}_1 - \alpha^{i}_2 \beta^{j}_2 \end{align*}

ここで, 次のようにおいて, \begin{align*} a^1 ={\sqrt{-1}}, \; b^1 = \frac{1+{{\sqrt{-1}}}}{ \sqrt{2} }, \; a^2 = 1, \; b^2 = {}\frac{1-{{\sqrt{-1}}}}{ \sqrt{2} }, \end{align*}

次の計算を得る. \begin{align} |P({}a^1 , b^1{}) - P({}a^1 , b^2{})| \; + \; |P({}a^2 , b^1{}) + P({}a^2 , b^2 {})| = 2 \sqrt{2} \tag{4.51} \end{align} 二つの場合 ( i.e., 量子系の場合 [${\cal A}=B({\mathbb C}^2 \otimes {\mathbb C}^2)$] と古典系の場合 [${\cal A}=C_0(\Omega\times \Omega)$])で, 式(4.51)が成立することになる. もちろん,これが「超光速（＝非局所性＝遠隔作用)」 を示唆していることはわかるが,「超光速」はド・ブロイのパラドックスの時点 (または,もっと以前の量子力学提唱時点)でわかっていることで, したがって,

4.5.2: 悩むのはやめよう(Stop being bothered)

こう言った方が公平と思うが,ほとんどの物理学者は悩んでいない( by Mermin).

である。
しかし、
あなたが天才で、しかも悩みたいならば、 主張1.1(in $\S$1.1)の 右図の�Dで悩もう
である。